Subgroups — #494248

Order 512.

1110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2911	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#12923	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#12567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#117	—	2	1	no	—
9	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
10	#2911	—	2	4	no	—
11	#2911	—	2	2	no	—
12	#2911	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#428	—	2	4	no	—
14	C₂×#427	—	2	1	no	—
15	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2280	—	2	1	no	—
19	#2159	—	2	4	no	—
20	#2159	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#2158	—	2	4	no	—
22	C₂×#349	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×#349	C₂²	1	4	yes	—
24	#1809	—	2	2	no	—
25	#1809	C₂²	1	4	yes	—
26	#1735	—	2	1	no	—
27	#1386	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#117	—	2	2	no	—
39	C₂×#117	—	2	4	no	—
40	C₂×#117	—	2	4	no	—
41	C₂×#117	—	2	2	no	—
42	C₂×#117	—	2	1	no	—
43	C₂×#117	—	2	1	no	—
44	C₂×#117	—	4	2	no	—
45	C₂×#117	—	4	1	no	—
46	C₂×#117	—	4	2	no	—
47	C₂×#117	—	4	1	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
50	C₂²×C₄²	—	4	1	no	—
51	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
52	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
53	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
56	#428	—	2	16	no	—
57	#428	—	2	16	no	—
58	#427	—	2	4	no	—
59	#427	—	2	4	no	—
60	#427	—	2	2	no	—
61	#427	—	2	2	no	—
62	#427	—	2	4	no	—
63	#427	—	2	2	no	—
64	#427	—	2	2	no	—
65	#427	D₄	1	4	yes	—
66	#427	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#107	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	1	no	—
69	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#106	—	2	2	no	—
72	C₂×#106	—	2	2	no	—
73	C₂×#106	—	2	1	no	—
74	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
75	#381	—	4	1	no	—
76	#380	—	2	4	no	—
77	#379	—	4	1	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
79	#367	—	2	8	no	—
80	#366	—	2	8	no	—
81	#349	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
82	#340	—	2	4	no	—
83	C₂⁵	D₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
91	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#117	—	2	8	no	—
121	#117	—	2	4	no	—
122	#117	—	2	4	no	—
123	#117	—	4	4	no	—
124	#117	—	4	4	no	—
125	#117	—	4	4	no	—
126	#117	—	4	4	no	—
127	#117	—	4	4	no	—
128	#117	—	4	2	no	—
129	#117	—	4	2	no	—
130	#117	—	4	1	no	—
131	#117	—	4	1	no	—
132	#117	—	4	2	no	—
133	#117	—	4	1	no	—
134	#117	—	4	1	no	—
135	#117	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
155	M₃₂	—	2	8	no	—
156	M₃₂	—	2	4	no	—
157	M₃₂	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
158	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
160	#107	—	2	8	no	—
161	#107	—	2	4	no	—
162	#107	—	2	4	no	—
163	#107	—	4	2	no	—
164	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
165	#106	—	2	8	no	—
166	#106	—	2	4	no	—
167	#106	—	2	4	no	—
168	#106	—	2	4	no	—
169	#106	—	4	2	no	—
170	#95	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	—	2	1	no	—
172	C₂⁴	—	2	1	no	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	—	8	2	no	—
175	C₂⁴	#107	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
201	C₂²×C₄	#107	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#107	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	M₁₆	—	2	8	no	—
217	M₁₆	—	2	8	no	—
218	M₁₆	—	2	16	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	1	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	8	1	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
249	C₄²	—	4	8	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₄²	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	8	1	no	—
253	C₄²	—	8	1	no	—
254	C₄²	—	8	2	no	—
255	C₁₆	—	2	8	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	C₂×#107	1	4	yes	—
267	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
268	C₂³	#447	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#447	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#480	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	16	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#107	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#447	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#447	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#451	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#451	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#480	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#484	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#484	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	4	no	—
309	C₈	#385	1	4	yes	—
310	C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
311	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	#1852	1	2	yes	—
324	C₂²	#1852	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#480	1	1	yes	characteristic
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	8	8	no	—
330	C₄	—	16	2	no	—
331	C₄	—	16	2	no	—
332	C₄	#1852	1	2	yes	—
333	C₄	#1852	1	2	yes	—
334	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
335	C₄	C₂×#428	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂×#451	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#484	1	1	yes	characteristic
338	C₂	—	2	1	no	—
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	—	4	4	no	—
343	C₂	C₂×#1852	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#33530	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#447
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#447
prime radical	C₂⁵	D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33409	C₂	semidirect
5. #12923	C₂	semidirect
6. #12567	C₂	semidirect
20. #2159	C₂²	semidirect
22. C₂×#349	C₄	semidirect
27. #1386	C₂²	semidirect
53. C₂×M₃₂	C₂×C₄	semidirect
81. #349	C₂×C₄	semidirect
157. M₃₂	C₂²×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2911	2
#33409	2
C₂²×#349	2
#20660	2
#12923	2
#12567	2