Subgroups — #494402

Order 512.

1400 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2113	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#12977	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#12976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#12545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#525	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	—	2	8	no	—
12	C₂²×M₃₂	—	2	4	no	—
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	#2929	—	2	4	no	—
18	#2929	—	2	4	no	—
19	C₂×#435	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#435	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#424	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#407	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2113	—	2	8	no	—
28	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1374	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#131	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	2	no	—
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#525	—	2	4	no	—
54	#525	—	2	4	no	—
55	C₂×#123	C₈	1	2	yes	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#120	C₈	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×M₃₂	—	2	32	no	—
65	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
66	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
67	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
68	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
69	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
70	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
77	#435	—	2	8	no	—
78	#435	—	2	8	no	—
79	C₈×D₄	—	2	4	no	—
80	C₈×D₄	—	2	4	no	—
81	C₈×D₄	—	2	4	no	—
82	C₈×D₄	—	2	4	no	—
83	#424	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#408	—	2	4	no	—
87	#407	—	2	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#405	—	2	2	no	—
93	#405	—	2	2	no	—
94	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊C₁₆	—	2	16	no	—
99	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	#131	—	4	4	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	#131	—	4	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	#123	—	2	8	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	#121	—	2	4	no	—
164	#121	—	2	4	no	—
165	#120	—	2	8	no	—
166	C₄×D₄	—	2	4	no	—
167	C₄×D₄	—	2	4	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	M₃₂	—	2	16	no	—
183	M₃₂	—	2	16	no	—
184	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
185	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
186	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
187	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
188	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
189	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
190	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
191	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
192	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
198	#97	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
205	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
206	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	4	4	no	—
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	—	4	4	no	—
256	M₁₆	—	4	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
280	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
281	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₁₆	—	2	8	no	—
298	C₁₆	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	8	no	—
304	C₂³	—	2	8	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	4	no	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	16	no	—
314	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
317	C₂³	C₈×D₄	1	4	yes	—
318	C₂³	#504	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	4	4	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#435	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
356	C₈	—	2	2	no	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	4	2	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	#386	1	4	yes	—
361	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
362	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
363	C₈	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	8	no	—
368	C₂²	—	2	8	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	4	16	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	#1869	1	4	yes	—
380	C₂²	#2113	1	4	yes	complemented
381	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
383	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
384	C₂²	#3407	1	2	yes	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	#1869	1	4	yes	—
391	C₄	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
392	C₄	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
393	C₄	C₂×#435	1	2	yes	—
394	C₂	—	2	4	no	—
395	C₂	—	2	4	no	—
396	C₂	—	4	2	no	—
397	C₂	—	8	2	no	—
398	C₂	C₂×#1869	1	1	yes	characteristic
399	C₂	C₂×#2113	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#33333	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#33436	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂×#525	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×M₃₂	C₂	semidirect
3. C₂×#2113	C₂	semidirect
4. C₂²×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
5. #12977	C₂	semidirect
6. #12976	C₂	semidirect
7. #12545	C₂	semidirect
31. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
32. #1374	C₂²	semidirect
69. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
380. C₂²	#2113	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×M₃₂	2
C₂×#2929	2
C₂×#2113	2
C₂²×C₂²⋊C₁₆	2
#12977	2
#12976	2
#12545	2