Subgroups — #494633

Order 512.

1404 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13061	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13059	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#12557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#535	—	2	1	no	—
13	C₂×#504	—	2	4	no	—
14	C₂×#504	—	2	4	no	—
15	C₂×#504	—	2	4	no	—
16	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#3058	—	2	4	no	—
21	#3058	C₄	1	8	yes	complemented
22	C₂×#469	—	2	2	no	—
23	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#418	—	2	1	no	—
28	#2311	—	2	1	no	—
29	#2140	—	2	4	no	—
30	C₂×#357	—	2	4	no	—
31	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
34	#1809	—	2	2	no	—
35	#1808	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1736	—	2	1	no	—
37	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1380	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#131	—	2	2	no	—
51	C₂×#131	—	2	2	no	—
52	C₂×#131	—	2	2	no	—
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#535	—	2	8	no	—
61	#535	—	4	4	no	—
62	C₂×#127	—	4	1	no	—
63	C₂×#124	—	4	1	no	—
64	C₂×#121	—	2	4	no	—
65	C₂×#120	—	4	2	no	—
66	C₂×#117	—	2	1	no	—
67	C₂×#117	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
69	#504	—	2	32	no	—
70	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
71	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
72	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
73	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
74	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
75	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	complemented
76	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
82	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
85	#469	—	2	16	no	—
86	#466	—	2	8	no	—
87	#466	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
88	#427	—	2	2	no	—
89	#427	—	2	2	no	—
90	#427	—	2	2	no	—
91	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×#107	—	2	2	no	—
93	C₂×#107	—	2	2	no	—
94	C₂×#107	—	2	1	no	—
95	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×#106	—	2	1	no	—
99	C₂×#106	—	2	1	no	—
100	#418	—	2	8	no	—
101	C₂×#102	—	2	4	no	—
102	#391	—	4	1	no	—
103	#390	—	4	1	no	—
104	#386	—	4	2	no	—
105	#380	—	2	4	no	—
106	#357	—	2	4	no	—
107	#357	—	2	4	no	—
108	#357	—	2	8	no	—
109	#340	—	2	4	no	—
110	C₂⁵	—	4	1	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂×#41	SD₁₆	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂²×D₄	D₈	1	2	yes	—
128	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×D₈	—	2	4	no	—
133	C₂×D₈	—	2	8	no	—
134	C₂×D₈	—	2	8	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	2	no	—
137	C₂×D₈	—	2	2	no	—
138	C₂×D₈	—	2	2	no	—
139	C₂×D₈	—	2	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	4	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	4	4	no	—
144	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	#131	—	2	8	no	—
146	#131	—	2	8	no	—
147	#131	—	2	8	no	—
148	#131	—	2	8	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	#127	—	4	8	no	—
171	#124	—	4	8	no	—
172	#121	—	2	16	no	—
173	#121	—	4	8	no	—
174	#120	—	4	16	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	—	4	2	no	—
177	#117	—	4	2	no	—
178	#117	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
191	M₃₂	—	2	16	no	—
192	M₃₂	—	2	8	no	—
193	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
194	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
198	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
199	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
200	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
201	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	#107	—	2	2	no	—
205	#107	—	2	2	no	—
206	#107	—	2	2	no	—
207	#107	—	2	2	no	—
208	#107	—	2	2	no	—
209	#107	—	4	2	no	—
210	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
211	#106	—	2	4	no	—
212	#106	—	4	2	no	—
213	#102	—	2	16	no	—
214	#95	—	4	4	no	—
215	C₂⁴	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	8	2	no	—
218	C₂⁴	—	8	2	no	—
219	C₂⁴	—	16	2	no	—
220	C₂⁴	—	16	2	no	—
221	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
222	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
223	#41	—	2	8	no	—
224	#41	—	2	8	no	—
225	#41	—	2	8	no	—
226	#41	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	#102	1	4	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	16	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	8	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	8	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	2	no	—
247	C₂×D₄	—	8	2	no	—
248	C₂×D₄	—	16	4	no	—
249	C₂×D₄	—	16	4	no	—
250	C₂×D₄	#102	1	8	yes	—
251	C₂×D₄	#102	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	D₈	—	2	4	no	—
273	D₈	—	2	4	no	—
274	D₈	—	4	2	no	—
275	D₈	—	4	2	no	—
276	D₈	—	4	8	no	—
277	M₁₆	—	2	8	no	—
278	M₁₆	—	2	16	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
293	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	8	2	no	—
312	C₁₆	—	2	2	no	—
313	C₁₆	—	2	4	no	—
314	C₁₆	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	2	4	no	—
318	C₂³	—	2	4	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	8	4	no	—
323	C₂³	—	8	4	no	—
324	C₂³	—	8	8	no	—
325	C₂³	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	—	16	8	no	—
328	C₂³	—	16	4	no	—
329	C₂³	—	16	4	no	—
330	C₂³	—	16	8	no	—
331	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
332	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
333	C₂³	#466	1	2	yes	—
334	C₂³	#466	1	2	yes	—
335	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
336	Q₈	—	2	8	no	—
337	D₄	—	2	16	no	—
338	D₄	—	2	8	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	4	4	no	—
341	D₄	—	8	8	no	—
342	D₄	—	8	2	no	—
343	D₄	—	8	2	no	—
344	D₄	—	16	16	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	16	4	no	—
360	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#465	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#465	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
374	C₈	—	2	4	no	—
375	C₈	#386	1	4	yes	—
376	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
379	C₈	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	2	8	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	8	8	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	16	16	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	—	16	2	no	—
394	C₂²	—	16	4	no	—
395	C₂²	#1893	1	4	yes	—
396	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#3415	1	2	yes	—
400	C₂²	#3416	1	2	yes	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	—	16	2	no	—
404	C₄	—	16	2	no	—
405	C₄	#1893	1	4	yes	—
406	C₄	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
407	C₄	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
408	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
409	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
410	C₂	—	2	4	no	—
411	C₂	—	4	4	no	—
412	C₂	—	16	4	no	—
413	C₂	C₂×#1893	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#33381	1	2	yes	—
415	C₂	#33607	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#33609	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#33612	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3058	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ C₂²×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#504	C₂	semidirect
3. C₂×#2140	C₂	semidirect
4. C₂²×#357	C₂	semidirect
5. #20663	C₂	semidirect
6. #13061	C₂	semidirect
7. #13059	C₂	semidirect
8. #12557	C₂	semidirect
9. #12556	C₂	semidirect
17. C₂²×M₃₂	C₂²	semidirect
19. C₂³×C₁₆	C₂²	semidirect
21. #3058	C₄	semidirect
35. #1808	C₂²	semidirect
37. #1380	C₂²	semidirect
38. #1380	C₂²	semidirect
39. #1380	C₂²	semidirect
75. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
81. C₂²×C₁₆	D₄	semidirect
87. #466	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#504	2
C₂×#3058	2
C₂×#2140	2
C₂²×#357	2
#20663	2
#13061	2
#13059	2
#12557	2
#12556	2