Subgroups — #495090

Order 512.

1184 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2117	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13191	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#532	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
11	#2931	—	2	2	no	—
12	#2931	—	2	2	no	—
13	#2931	C₄	1	2	yes	—
14	#2931	C₄	1	2	yes	—
15	#2931	C₂²	1	2	yes	—
16	#2931	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#436	—	2	2	no	—
18	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
19	C₂×#423	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#408	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2150	—	2	2	no	—
23	#2150	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#2150	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
26	#2117	—	2	16	no	—
27	C₂×#350	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₄×M₃₂	—	2	2	no	—
29	C₄×M₃₂	—	2	2	no	—
30	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂×#131	—	2	2	no	—
34	C₂×#131	—	2	2	no	—
35	C₂×#131	—	2	8	no	—
36	C₂×#131	—	2	8	no	—
37	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	C₈	1	2	yes	—
47	#532	C₈	1	2	yes	—
48	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	C₈	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#124	C₈	1	2	yes	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
57	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
61	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
62	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
65	#436	—	2	4	no	—
66	#436	—	2	4	no	—
67	#436	—	2	4	no	—
68	#436	—	2	4	no	—
69	C₈×D₄	—	2	4	no	—
70	C₈×D₄	—	2	4	no	—
71	C₈×D₄	—	2	4	no	—
72	C₈×D₄	—	2	4	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	#408	—	2	4	no	—
78	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
91	#350	—	2	32	no	—
92	#346	—	2	4	no	—
93	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	C₂×C₈	1	4	yes	—
99	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	M₁₆	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	#131	—	2	16	no	—
108	#131	—	2	8	no	—
109	#131	—	2	8	no	—
110	#131	—	4	8	no	—
111	#131	—	4	4	no	—
112	#131	—	4	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
139	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
140	#127	—	2	2	no	—
141	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
142	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
143	#124	—	2	4	no	—
144	#124	C₂×C₈	1	4	yes	—
145	#124	C₂×C₈	1	4	yes	—
146	#121	—	2	4	no	—
147	#121	—	2	4	no	—
148	#121	—	2	4	no	—
149	#121	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	M₁₆	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	M₃₂	—	2	8	no	—
166	M₃₂	—	2	8	no	—
167	M₃₂	—	2	8	no	—
168	M₃₂	—	4	4	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
172	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
173	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
174	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
178	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	2	8	no	—
189	#41	—	2	8	no	—
190	#41	—	2	16	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
196	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	4	4	no	—
228	M₁₆	—	4	8	no	—
229	M₁₆	—	4	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	8	no	—
239	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄²	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
268	C₁₆	—	2	8	no	—
269	C₁₆	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	#436	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	2	8	no	—
279	Q₈	—	4	4	no	—
280	D₄	—	2	8	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#408	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#408	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	#390	1	2	yes	—
318	C₈	#390	1	2	yes	—
319	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
320	C₈	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
321	C₈	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	8	8	no	—
329	C₂²	#1954	1	2	yes	—
330	C₂²	#1954	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#436	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	#1954	1	2	yes	—
338	C₄	#1954	1	2	yes	—
339	C₄	#2117	1	4	yes	complemented
340	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
341	C₄	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	2	no	—
344	C₂	—	2	2	no	—
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	8	4	no	—
347	C₂	C₂×#1954	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#2117	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂×#532	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2150	C₂	semidirect
3. C₂×#2117	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×M₃₂	C₂	semidirect
5. #13192	C₂	semidirect
6. #13191	C₂	semidirect
23. #2150	C₂²	semidirect
24. #2150	C₂²	semidirect
27. C₂×#350	C₂²	semidirect
30. C₂×#346	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
61. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
173. C₂×C₁₆	C₂×D₄	semidirect
339. C₄	#2117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2931	2
C₂×#2150	2
C₂×#2117	2
C₂×C₄×M₃₂	2
#13192	2
#13191	2