Subgroups — #495100

Order 512.

1148 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2117	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33333	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13196	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13195	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#135	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#443	—	2	4	no	—
14	C₂×#443	—	2	4	no	—
15	C₂×#443	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#443	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#108	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#104	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#364	—	2	4	no	—
23	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#2117	—	2	8	no	—
26	C₂×#350	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#2113	—	2	4	no	—
28	#2113	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#2112	—	2	4	no	—
30	C₄×M₃₂	—	2	4	no	—
31	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	C₈	1	2	yes	—
37	C₂×#135	C₈	1	2	yes	—
38	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	C₈	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	C₈	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	2	no	—
44	C₂×#131	—	2	2	no	—
45	C₂×#131	—	2	4	no	—
46	C₂×#131	—	2	4	no	—
47	C₂×#131	—	2	4	no	—
48	C₂×#131	—	2	4	no	—
49	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
61	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
62	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
63	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
64	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
65	C₂×M₃₂	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×M₃₂	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
72	#443	—	2	8	no	—
73	#443	—	2	8	no	—
74	#443	—	2	4	no	—
75	#443	—	2	4	no	—
76	#443	—	2	4	no	—
77	#443	—	2	4	no	—
78	C₂×#108	—	2	4	no	—
79	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#104	—	2	8	no	—
82	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#364	—	2	4	no	—
91	#364	—	2	4	no	—
92	#350	—	2	16	no	—
93	C₂²⋊C₁₆	—	2	16	no	—
94	#346	—	2	4	no	—
95	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	C₂×C₈	1	4	yes	—
103	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	#135	—	2	8	no	—
111	#135	—	2	8	no	—
112	#135	—	2	4	no	—
113	#135	—	2	4	no	—
114	#135	—	2	4	no	—
115	#135	—	2	4	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
118	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
119	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
121	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
122	C₂×D₈	—	2	4	no	—
123	C₂×D₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
124	C₂×D₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
125	#131	—	2	8	no	—
126	#131	—	2	8	no	—
127	#131	—	2	4	no	—
128	#131	—	2	4	no	—
129	#131	—	2	4	no	—
130	#131	—	2	4	no	—
131	#131	—	4	4	no	—
132	#131	—	4	4	no	—
133	#131	—	4	4	no	—
134	#131	—	4	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	M₃₂	—	2	4	no	—
172	M₃₂	—	2	4	no	—
173	M₃₂	—	2	4	no	—
174	M₃₂	—	2	4	no	—
175	M₃₂	—	2	4	no	—
176	M₃₂	—	2	4	no	—
177	M₃₂	—	4	4	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
180	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
181	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
182	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
183	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
184	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	#108	—	2	4	no	—
187	#108	—	2	4	no	—
188	#104	—	2	8	no	—
189	#104	—	2	8	no	—
190	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	#131	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	8	no	—
203	#41	—	2	8	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	4	no	—
206	#41	—	4	4	no	—
207	#41	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	Q₁₆	—	2	4	no	—
240	Q₁₆	—	2	4	no	—
241	SD₁₆	—	2	8	no	—
242	SD₁₆	—	2	8	no	—
243	D₈	—	2	4	no	—
244	D₈	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	M₁₆	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	—	2	1	no	—
287	C₄²	—	2	1	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₁₆	—	2	4	no	—
292	C₁₆	—	2	4	no	—
293	C₁₆	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	#408	1	2	yes	—
299	C₂³	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	#436	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	2	4	no	—
304	Q₈	—	2	4	no	—
305	Q₈	—	4	4	no	—
306	D₄	—	2	4	no	—
307	D₄	—	2	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#408	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₈	#390	1	2	yes	—
342	C₈	#390	1	2	yes	—
343	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
344	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
345	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
346	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
347	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
349	C₈	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
350	C₈	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	#1954	1	2	yes	—
360	C₂²	#1954	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	#1954	1	2	yes	—
368	C₄	#1954	1	2	yes	—
369	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	2	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	8	4	no	—
378	C₂	C₂×#1954	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#33443	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₈×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂²×M₃₂ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#364	C₂	semidirect
3. C₂×#2117	C₂	semidirect
4. #33333	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×M₃₂	C₂	semidirect
6. #13196	C₂	semidirect
7. #13195	C₂	semidirect
23. C₂×#364	C₂²	semidirect
24. C₂×#364	C₂²	semidirect
26. C₂×#350	C₂²	semidirect
28. #2113	C₂²	semidirect
31. C₂×#346	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
C₂²×#364	2
C₂×#2117	2
#33333	2
C₂×C₄×M₃₂	2
#13196	2
#13195	2