Subgroups — #495108

Order 512.

1089 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2955	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2117	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2115	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#2110	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13199	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂×#575	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2955	—	2	2	no	—
13	#2955	—	2	2	no	—
14	#2955	C₄	1	4	yes	—
15	#2955	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#444	—	2	2	no	—
17	C₂×#443	—	2	2	no	—
18	C₂×#430	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#421	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2151	—	2	2	no	—
22	#2151	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#2150	—	2	2	no	—
24	#2117	—	2	4	no	—
25	#2117	—	2	4	no	—
26	C₂×#350	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#2115	—	2	4	no	—
28	#2115	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#349	—	2	4	no	—
30	#2110	—	2	2	no	—
31	#2110	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#347	—	2	2	no	—
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	#575	—	2	4	no	—
35	#575	—	2	2	no	—
36	#575	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×#137	—	2	2	no	—
38	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	2	2	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	2	no	—
42	C₂×#131	—	2	2	no	—
43	C₂×#131	—	2	2	no	—
44	C₂×#131	—	2	2	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₂×#131	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₂×#131	—	2	2	no	—
50	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
61	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
62	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
63	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
64	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
65	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
66	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
67	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
68	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
75	#444	—	2	8	no	—
76	#444	—	2	8	no	—
77	#443	—	2	8	no	—
78	#443	—	2	8	no	—
79	#430	—	2	2	no	—
80	#430	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#108	—	2	2	no	—
82	#421	—	2	4	no	—
83	#421	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×#104	—	2	4	no	—
85	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#405	D₄	1	2	yes	—
87	#405	D₄	1	2	yes	—
88	#405	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₄⋊C₁₆	—	2	8	no	—
92	#350	—	2	16	no	—
93	#349	—	2	16	no	—
94	#347	—	2	8	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	M₁₆	1	4	yes	—
106	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×Q₈	M₁₆	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	M₁₆	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	#137	—	2	8	no	—
113	#137	—	2	8	no	—
114	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
115	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
116	#135	—	2	8	no	—
117	#135	—	2	8	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	#131	—	2	4	no	—
122	#131	—	2	4	no	—
123	#131	—	2	4	no	—
124	#131	—	2	4	no	—
125	#131	—	2	4	no	—
126	#131	—	2	4	no	—
127	#131	—	2	4	no	—
128	#131	—	2	4	no	—
129	#131	—	4	2	no	—
130	#131	—	4	2	no	—
131	#131	—	4	2	no	—
132	#131	—	4	2	no	—
133	#131	—	4	2	no	—
134	#131	—	4	2	no	—
135	#131	—	4	2	no	—
136	#131	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	#117	—	2	1	no	—
172	#117	—	2	1	no	—
173	#117	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	M₃₂	—	2	4	no	—
179	M₃₂	—	2	4	no	—
180	M₃₂	—	2	4	no	—
181	M₃₂	—	2	4	no	—
182	M₃₂	—	4	2	no	—
183	M₃₂	—	4	1	no	—
184	M₃₂	—	4	1	no	—
185	M₃₂	—	4	1	no	—
186	M₃₂	—	4	1	no	—
187	M₃₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
188	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
189	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
190	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
191	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
192	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
193	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
194	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
195	#108	—	2	8	no	—
196	#104	—	2	16	no	—
197	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	#131	1	1	yes	characteristic
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	2	no	—
216	#41	—	4	2	no	—
217	#41	—	4	2	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	Q₁₆	—	2	8	no	—
256	SD₁₆	—	2	16	no	—
257	D₈	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	4	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	4	4	no	—
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	#127	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
302	C₁₆	—	2	8	no	—
303	C₁₆	—	4	2	no	—
304	C₁₆	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	8	1	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	#408	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	#408	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	#435	1	2	yes	—
313	C₂³	#435	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	2	4	no	—
316	Q₈	—	2	4	no	—
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	D₄	—	2	4	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#390	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#407	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#407	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#408	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
354	C₈	—	2	4	no	—
355	C₈	—	4	4	no	—
356	C₈	#390	1	1	yes	characteristic
357	C₈	#390	1	2	yes	—
358	C₈	#390	1	1	yes	characteristic
359	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
360	C₈	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
361	C₈	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	1	no	—
365	C₂²	—	4	1	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	#1955	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#1955	1	2	yes	—
373	C₂²	#1955	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#435	1	2	yes	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	#1955	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#1955	1	2	yes	—
380	C₄	#1955	1	1	yes	characteristic
381	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
382	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
383	C₄	C₂×#435	1	2	yes	—
384	C₂	—	2	1	no	—
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	2	2	no	—
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	8	4	no	—
390	C₂	C₂×#1955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₈	C₂×#124
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂	C₂×#1955
prime radical	C₂×#575	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₈ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33397	C₂	semidirect
3. C₂×#2117	C₂	semidirect
4. C₂×#2115	C₂	semidirect
5. C₂×#2110	C₂	semidirect
6. #13199	C₂	semidirect
22. #2151	C₂²	semidirect
26. C₂×#350	C₂²	semidirect
28. #2115	C₂²	semidirect
31. #2110	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2955	2
#33397	2
C₂×#2117	2
C₂×#2115	2
C₂×#2110	2
#13199	2