Subgroups — #495121

Order 512.

1390 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2139	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₄×M₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13205	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#135	—	2	1	no	—
9	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	—	2	1	no	—
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
12	#3147	—	2	4	no	—
13	#3147	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#495	—	2	1	no	—
15	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#492	—	2	1	no	—
19	C₂²×#107	—	2	1	no	—
20	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	—	2	1	no	—
23	#2139	—	2	16	no	—
24	C₂×#358	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	8	yes	—
26	C₄×M₃₂	—	2	4	no	—
27	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	#1845	—	2	1	no	—
30	#1845	—	2	1	no	—
31	#1845	C₂²	1	2	yes	—
32	#1845	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	—	2	2	no	—
34	C₂×#135	—	2	8	no	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	8	no	—
37	C₂×#135	—	2	8	no	—
38	C₂×#135	—	4	4	no	—
39	C₂×#135	—	4	4	no	—
40	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
42	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#532	—	2	8	no	—
50	#532	—	4	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#124	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
61	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	#495	—	2	8	no	—
64	#495	—	2	4	no	—
65	#495	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#494	—	2	2	no	—
67	#494	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	#493	—	2	2	no	—
69	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	#492	—	2	8	no	—
71	C₂×#107	—	2	8	no	—
72	C₂×#107	—	2	2	no	—
73	C₂×#107	—	2	2	no	—
74	C₂×#107	—	2	2	no	—
75	C₂×#107	—	4	4	no	—
76	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#384	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	—	4	2	no	—
86	#358	—	2	16	no	—
87	#357	—	2	16	no	—
88	#346	—	2	4	no	—
89	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	—	2	8	no	—
91	C₂×#41	—	4	4	no	—
92	C₂×#41	—	4	4	no	—
93	C₂×#41	—	4	4	no	—
94	C₂×#41	—	4	4	no	—
95	C₂×#41	—	4	4	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	#135	—	2	32	no	—
105	#135	—	4	32	no	—
106	#135	—	4	16	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×D₈	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	—	2	4	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	4	no	—
124	C₂×D₈	—	4	2	no	—
125	C₂×D₈	—	4	2	no	—
126	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
140	#127	—	2	4	no	—
141	#127	—	4	2	no	—
142	#124	—	2	8	no	—
143	#124	—	4	4	no	—
144	#121	—	4	16	no	—
145	C₄×D₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	M₃₂	—	2	16	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	#107	—	2	8	no	—
165	#107	—	4	4	no	—
166	#107	—	4	4	no	—
167	#107	—	4	4	no	—
168	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂⁴	—	4	2	no	—
175	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
176	#41	—	4	16	no	—
177	#41	—	4	16	no	—
178	#41	—	8	8	no	—
179	#41	—	8	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	8	4	no	—
195	C₂×D₄	—	8	4	no	—
196	C₂×D₄	—	8	4	no	—
197	C₂×D₄	—	8	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
207	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	Q₁₆	—	2	8	no	—
219	Q₁₆	—	4	4	no	—
220	Q₁₆	—	4	8	no	—
221	SD₁₆	—	4	16	no	—
222	SD₁₆	—	4	16	no	—
223	D₈	—	2	8	no	—
224	D₈	—	4	4	no	—
225	D₈	—	4	8	no	—
226	C₂×C₈	#102	1	16	yes	—
227	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
231	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
232	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
249	C₄²	#102	1	8	yes	—
250	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
253	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
254	C₁₆	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	4	no	—
261	C₂³	—	8	4	no	—
262	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
263	C₂³	#486	1	2	yes	—
264	C₂³	#493	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
266	Q₈	—	4	4	no	—
267	Q₈	—	4	4	no	—
268	Q₈	—	8	2	no	—
269	Q₈	—	8	2	no	—
270	D₄	—	4	4	no	—
271	D₄	—	4	4	no	—
272	D₄	—	8	16	no	—
273	D₄	—	8	2	no	—
274	D₄	—	8	2	no	—
275	D₄	—	8	16	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	16	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	16	no	—
283	C₂×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂×C₄	—	8	8	no	—
285	C₂×C₄	—	16	8	no	—
286	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#486	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#509	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#510	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₈	#390	1	4	yes	—
304	C₈	C₂×#102	1	4	yes	—
305	C₈	C₂×#102	1	4	yes	—
306	C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	8	8	no	—
313	C₂²	—	8	4	no	—
314	C₂²	—	16	4	no	—
315	C₂²	—	16	2	no	—
316	C₂²	—	16	2	no	—
317	C₂²	#1957	1	4	yes	—
318	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#509	1	2	yes	—
322	C₂²	C₂×#510	1	2	yes	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	8	4	no	—
325	C₄	—	16	4	no	—
326	C₄	#1957	1	4	yes	—
327	C₄	#2139	1	8	yes	complemented
328	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
329	C₄	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
330	C₄	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
331	C₄	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
332	C₂	—	2	4	no	—
333	C₂	—	16	4	no	—
334	C₂	C₂×#1957	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₂×#2139	1	2	yes	—
336	C₂	#33707	1	2	yes	—
337	C₂	#33717	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#33718	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2139	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×M₃₂	C₂	semidirect
4. C₂×#1845	C₂	semidirect
5. #13205	C₂	semidirect
6. #13203	C₂	semidirect
7. #13202	C₂	semidirect
13. #3147	C₄	semidirect
61. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
65. #495	C₂×C₄	semidirect
67. #494	C₂×C₄	semidirect
69. #493	C₂×C₄	semidirect
327. C₄	#2139	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
C₂×#2139	2
C₂×C₄×M₃₂	2
C₂×#1845	2
#13205	2
#13203	2
#13202	2