Subgroups — #495224

Order 512.

1076 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#368	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21240	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13242	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13241	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#508	—	2	4	no	—
10	C₂×#508	—	2	4	no	—
11	C₂×#508	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₂×#508	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂×#508	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#508	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×Q₃₂	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂²×SD₃₂	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂²×D₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#421	—	2	2	no	—
22	#2879	—	2	2	no	—
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#368	—	2	4	no	—
25	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#2143	—	2	8	no	—
28	C₂×#359	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#2108	—	2	4	no	—
30	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#1975	—	2	4	no	—
33	#1974	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	C₂×#135	—	2	2	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	—	2	2	no	—
40	C₂×#135	—	2	4	no	—
41	C₂×#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
50	#508	—	2	8	no	—
51	#508	—	2	8	no	—
52	#508	—	2	4	no	—
53	#508	—	2	4	no	—
54	#508	—	2	4	no	—
55	#508	—	2	4	no	—
56	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
57	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
60	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
66	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
67	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
68	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#108	—	2	4	no	—
79	C₂×#108	—	2	4	no	—
80	C₂×#108	—	2	2	no	—
81	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
82	#421	—	4	8	no	—
83	C₂×#104	—	2	8	no	—
84	#408	—	2	8	no	—
85	#408	—	4	4	no	—
86	#407	—	4	4	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	#405	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	#368	—	2	4	no	—
92	#368	—	2	4	no	—
93	#359	—	2	16	no	—
94	#346	—	2	4	no	—
95	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	2	no	—
99	C₂×#41	—	4	2	no	—
100	C₂×#41	—	4	4	no	—
101	C₂×#41	—	4	4	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	#135	—	2	8	no	—
110	#135	—	2	8	no	—
111	#135	—	2	4	no	—
112	#135	—	2	4	no	—
113	#135	—	2	4	no	—
114	#135	—	2	4	no	—
115	#135	—	4	4	no	—
116	#135	—	4	4	no	—
117	#135	—	4	4	no	—
118	#135	—	4	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×D₈	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	D₈	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	D₈	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	D₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	Q₃₂	—	2	4	no	—
157	Q₃₂	—	2	4	no	—
158	SD₃₂	—	2	8	no	—
159	SD₃₂	—	2	8	no	—
160	D₁₆	—	2	4	no	—
161	D₁₆	—	2	4	no	—
162	M₃₂	—	2	4	no	—
163	M₃₂	—	2	4	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	#108	—	2	4	no	—
180	#108	—	2	4	no	—
181	#108	—	4	4	no	—
182	#104	—	4	16	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
184	#97	—	2	4	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	4	2	no	—
188	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
189	#41	—	4	4	no	—
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	8	no	—
194	#41	—	4	8	no	—
195	#41	—	8	4	no	—
196	#41	—	8	4	no	—
197	#41	—	8	4	no	—
198	#41	—	8	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	8	4	no	—
210	C₂×D₄	—	8	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	Q₁₆	—	2	4	no	—
228	Q₁₆	—	2	4	no	—
229	Q₁₆	—	4	4	no	—
230	SD₁₆	—	4	4	no	—
231	SD₁₆	—	4	4	no	—
232	SD₁₆	—	4	8	no	—
233	D₈	—	2	4	no	—
234	D₈	—	2	4	no	—
235	D₈	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	8	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	8	4	no	—
245	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
268	C₁₆	—	2	4	no	—
269	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
272	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	—	16	4	no	—
277	C₂³	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#466	1	2	yes	—
280	C₂³	#495	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	Q₈	—	4	4	no	—
284	Q₈	—	8	4	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	D₄	—	8	8	no	—
289	D₄	—	8	4	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	8	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#495	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	8	4	no	—
318	C₈	#390	1	2	yes	—
319	C₈	#390	1	2	yes	—
320	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
323	C₈	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	8	8	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	16	8	no	—
332	C₂²	#1970	1	2	yes	—
333	C₂²	#1970	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	8	4	no	—
339	C₄	#1970	1	2	yes	—
340	C₄	#1970	1	2	yes	—
341	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
345	C₂	—	2	1	no	—
346	C₂	—	2	2	no	—
347	C₂	—	2	1	no	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	16	4	no	—
350	C₂	C₂×#1970	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#33465	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₈
prime radical	C₂²×#508	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#368	C₂	semidirect
3. C₂×#2143	C₂	semidirect
4. C₂×#2108	C₂	semidirect
5. #21240	C₂	semidirect
6. #13242	C₂	semidirect
7. #13241	C₂	semidirect
11. C₂×#508	C₄	semidirect
12. C₂×#508	C₄	semidirect
15. C₂²×Q₃₂	C₄	semidirect
16. C₂²×SD₃₂	C₄	semidirect
17. C₂²×D₁₆	C₄	semidirect
25. C₂×#368	C₂²	semidirect
26. C₂×#368	C₂²	semidirect
28. C₂×#359	C₂²	semidirect
30. C₂×#346	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
33. #1974	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#508	2
C₂²×#368	2
C₂×#2143	2
C₂×#2108	2
#21240	2
#13242	2
#13241	2