Subgroups — #495446

Order 512.

702 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 225 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13159	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12912	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#431	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₄×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
11	#2162	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
20	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
22	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#1744	C₄	1	2	yes	—
24	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	#1374	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₈	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₈	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
33	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	#431	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄×C₄⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
48	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₄×C₂²⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#376	C₈	1	2	yes	—
52	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₄⋊C₁₆	—	2	16	no	—
54	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
56	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
57	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
58	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
59	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
73	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
74	#117	—	2	4	no	—
75	#117	C₁₆	1	8	yes	complemented
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
80	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
82	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
83	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
86	C₂×C₄²	M₁₆	1	4	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
91	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
95	C₂×C₁₆	#41	1	8	yes	—
96	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
98	C₄×C₈	—	2	8	no	—
99	C₄×C₈	—	2	8	no	—
100	C₄×C₈	—	2	4	no	—
101	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	#95	C₂×C₈	1	4	yes	—
108	#95	C₂×C₈	1	4	yes	—
109	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄	M₃₂	1	4	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
139	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
142	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
144	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	—
146	C₄²	—	2	4	no	—
147	C₄²	—	2	4	no	—
148	C₄²	—	2	4	no	—
149	C₄²	—	2	8	no	—
150	C₄²	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
151	C₄²	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
152	C₄²	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
153	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
156	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
157	C₁₆	—	2	8	no	—
158	C₁₆	—	4	4	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
162	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
163	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
164	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	C₄⋊C₁₆	1	16	yes	complemented
177	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
181	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	8	yes	—
183	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	#504	1	4	yes	—
188	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
192	C₈	—	2	2	no	—
193	C₈	—	2	2	no	—
194	C₈	—	4	4	no	—
195	C₈	#424	1	4	yes	—
196	C₈	#525	1	2	yes	—
197	C₈	#533	1	2	yes	—
198	C₂²	—	2	2	no	—
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	2	4	no	—
201	C₂²	—	2	4	no	—
202	C₂²	C₂×C₄⋊C₁₆	1	4	yes	—
203	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	C₈×#41	1	2	yes	—
205	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
206	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
208	C₄	—	2	2	no	—
209	C₄	—	2	2	no	—
210	C₄	—	2	8	no	—
211	C₄	—	4	4	no	—
212	C₄	C₂×C₄⋊C₁₆	1	4	yes	—
213	C₄	C₂×C₄⋊C₁₆	1	4	yes	—
214	C₄	#2151	1	4	yes	—
215	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
216	C₄	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
217	C₄	#2965	1	2	yes	—
218	C₂	—	2	4	no	—
219	C₂	#21349	1	1	yes	characteristic
220	C₂	C₂²×C₄⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
221	C₂	C₂×#2151	1	1	yes	characteristic
222	C₂	C₁₆×#41	1	2	yes	—
223	C₂	#33479	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄×C₈	C₂³
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #13159	C₂	semidirect
6. C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	semidirect
75. #117	C₁₆	semidirect
143. C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect
152. C₄²	C₂×C₁₆	semidirect
176. C₂×C₄	C₄⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2162	2
C₂²×C₄×C₁₆	2
C₈×#117	2
#13159	2
#12912	2
C₄×C₄⋊C₁₆	2