Subgroups — #495485

Order 512.

1050 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₈×#41	—	2	4	no	—
11	C₈×#41	—	2	4	no	—
12	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#431	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#431	C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2162	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	#1374	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂²×#41	C₈	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#41	—	2	4	no	—
37	C₄×#41	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×D₄	C₈	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	C₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#117	C₈	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	C₈	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
53	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₈×D₄	—	2	8	no	—
56	C₈×D₄	—	2	4	no	—
57	C₈×D₄	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₈×D₄	—	2	2	no	—
60	C₈×D₄	—	2	2	no	—
61	#431	—	2	4	no	—
62	#431	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
83	C₂²⋊C₁₆	—	2	16	no	—
84	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
85	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	C₁₆	1	8	yes	complemented
90	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	2	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	4	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	2	no	—
123	C₄×D₄	—	2	2	no	—
124	#117	—	2	4	no	—
125	#117	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	M₁₆	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×C₁₆	#41	1	8	yes	complemented
150	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄×C₈	—	2	4	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	4	no	—
161	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
168	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
169	#41	—	2	32	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	—
178	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
194	C₂²×C₄	M₃₂	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	8	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	4	no	—
215	C₂×C₈	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	—	4	4	no	—
217	C₂×C₈	—	4	8	no	—
218	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
222	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
237	C₄²	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
238	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
241	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
242	C₁₆	—	2	8	no	—
243	C₁₆	—	4	4	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
252	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
255	Q₈	—	2	8	no	—
256	D₄	—	2	16	no	—
257	D₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	16	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	C₂²⋊C₁₆	1	16	yes	complemented
276	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#504	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	2	2	no	—
293	C₈	—	4	2	no	—
294	C₈	—	4	2	no	—
295	C₈	#408	1	4	yes	—
296	C₈	#525	1	2	yes	—
297	C₈	#532	1	2	yes	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	—
308	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₈×#41	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	2	no	—
318	C₄	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	—
319	C₄	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	—
320	C₄	#2113	1	4	yes	—
321	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
322	C₄	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
323	C₄	#2965	1	2	yes	—
324	C₂	—	2	4	no	—
325	C₂	—	4	4	no	—
326	C₂	#21373	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂²×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂×#2113	1	1	yes	characteristic
329	C₂	C₁₆×#41	1	2	yes	—
330	C₂	#33479	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄×C₈	C₂³
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂²×#41	C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2162	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×C₁₆	C₂	semidirect
4. #13263	C₂	semidirect
5. #13189	C₂	semidirect
6. #12976	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
89. C₂×#41	C₁₆	semidirect
149. C₂×C₁₆	#41	semidirect
172. C₂×Q₈	C₂×C₁₆	semidirect
178. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
193. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
275. C₂×C₄	C₂²⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
C₂×#2162	2
C₂²×C₄×C₁₆	2
#13263	2
#13189	2
#12976	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2