Subgroups — #495672

Order 512.

1016 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#12977	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#12976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12913	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12680	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12612	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12611	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#504	—	2	8	no	—
14	C₂×#504	—	2	4	no	—
15	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#2388	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#2168	—	2	8	no	—
24	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1870	C₄	1	1	yes	characteristic
36	#1870	C₄	1	2	yes	—
37	#1851	C₄	1	2	yes	—
38	#1851	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#1780	C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	2	yes	—
43	#1374	C₂²	1	2	yes	—
44	#1374	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#131	—	2	4	no	—
47	C₂×#131	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#504	—	2	32	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
61	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
62	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
63	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₈×D₄	—	2	2	no	—
77	C₈×D₄	—	2	4	no	—
78	C₈×D₄	—	2	2	no	—
79	C₈×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	#395	C₈	1	1	yes	characteristic
91	#394	C₈	1	1	yes	characteristic
92	#394	C₈	1	2	yes	—
93	#393	C₈	1	1	yes	characteristic
94	#392	C₈	1	2	yes	—
95	#392	C₈	1	1	yes	characteristic
96	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
106	#346	—	2	4	no	—
107	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
108	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	#131	—	2	16	no	—
124	#131	—	2	8	no	—
125	#131	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	M₃₂	—	2	8	no	—
167	M₃₂	—	2	16	no	—
168	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
180	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
181	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	#95	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
198	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
199	#95	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
200	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
204	#41	—	2	8	no	—
205	#41	—	2	16	no	—
206	#41	—	2	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	M₁₆	—	2	8	no	—
243	M₁₆	—	2	16	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₁₆	—	2	2	no	—
284	C₁₆	—	2	4	no	—
285	C₁₆	—	4	1	no	—
286	C₁₆	—	4	1	no	—
287	C₁₆	—	4	2	no	—
288	C₁₆	#120	1	4	yes	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	1	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
304	C₂³	C₈×D₄	1	4	yes	—
305	C₂³	#504	1	2	yes	complemented
306	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	2	8	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	2	16	no	—
310	D₄	—	2	8	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#504	1	2	yes	complemented
340	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	2	2	no	—
346	C₈	—	4	1	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	4	1	no	—
349	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
350	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
351	C₈	#525	1	2	yes	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	1	no	—
369	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#3407	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	4	1	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	1	no	—
381	C₄	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2929	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2929	1	2	yes	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	4	2	no	—
386	C₂	—	4	4	no	—
387	C₂	C₈×#120	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#33432	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#33435	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#33436	1	2	yes	—
391	C₂	#33438	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	#2388	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#504	C₂	semidirect
2. C₂×#2168	C₂	semidirect
3. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
5. #12977	C₂	semidirect
6. #12976	C₂	semidirect
7. #12913	C₂	semidirect
8. #12912	C₂	semidirect
9. #12680	C₂	semidirect
10. #12612	C₂	semidirect
11. #12611	C₂	semidirect
62. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
69. C₂²×C₁₆	D₄	semidirect
305. C₂³	#504	semidirect
339. C₂×C₄	#504	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#504	2
C₂×#2168	2
C₂×D₄×C₁₆	2
#21442	2
#12977	2
#12976	2
#12913	2
#12912	2
#12680	2
#12612	2
#12611	2