Subgroups — #495832

Order 512.

726 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#509	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21697	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20514	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13029	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12820	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#442	—	2	1	no	—
17	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	#2875	—	2	1	no	—
20	#2328	—	2	1	no	—
21	#2213	C₄	1	8	yes	complemented
22	#2177	—	2	2	no	—
23	#2175	—	2	2	no	—
24	C₄×SD₃₂	—	2	2	no	—
25	C₄×D₁₆	—	2	2	no	—
26	#2159	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
31	#2140	C₂²	1	2	yes	—
32	#2139	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
34	#1972	—	2	1	no	—
35	#1970	C₂²	1	2	yes	—
36	#1961	—	2	1	no	—
37	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1765	—	2	1	no	—
42	#1765	—	2	1	no	—
43	#1759	—	2	1	no	—
44	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1387	C₂²	1	2	yes	—
46	#1387	C₂²	1	2	yes	—
47	#1376	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#131	—	2	1	no	—
52	C₂×#131	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₄×#41	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	#509	—	2	4	no	—
57	#509	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
59	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
62	#493	—	2	2	no	—
63	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	#443	—	2	2	no	—
65	#443	—	2	2	no	—
66	#443	—	2	2	no	—
67	#443	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	#442	—	4	1	no	—
69	#442	—	4	1	no	—
70	#442	—	4	1	no	—
71	#442	—	4	1	no	—
72	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	complemented
73	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
74	C₄×D₈	—	2	2	no	—
75	C₄×D₈	—	2	2	no	—
76	C₄×D₈	—	2	2	no	—
77	C₄×D₈	—	2	2	no	—
78	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	complemented
79	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#106	—	2	1	no	—
84	C₂×#104	—	2	1	no	—
85	C₂×#104	—	2	1	no	—
86	#416	—	2	1	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	#405	—	2	1	no	—
90	#405	—	2	1	no	—
91	#405	—	4	1	no	—
92	#405	—	4	1	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
94	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
95	C₂×#97	—	4	1	no	—
96	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#390	—	2	2	no	—
103	#386	—	4	4	no	—
104	#382	—	2	1	no	—
105	#376	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#367	—	2	2	no	—
107	#366	—	2	2	no	—
108	#364	—	2	2	no	—
109	#364	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
110	#361	—	2	4	no	—
111	#361	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
112	#358	—	2	2	no	—
113	#357	—	2	2	no	—
114	#357	—	2	2	no	—
115	#357	—	2	2	no	—
116	#346	—	2	2	no	—
117	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
118	#341	—	2	1	no	—
119	#339	—	2	1	no	—
120	#339	—	2	1	no	—
121	C₂×#41	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
125	#135	—	2	1	no	—
126	#135	—	2	1	no	—
127	#135	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	#135	#41	1	2	yes	—
129	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×D₈	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	1	no	—
138	C₂×D₈	—	4	1	no	—
139	C₂×D₈	—	4	2	no	—
140	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	#131	—	2	4	no	—
143	#131	—	2	4	no	—
144	#131	—	4	2	no	—
145	#131	—	4	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#127	—	2	4	no	—
157	#127	—	4	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	4	2	no	—
161	C₄×D₄	—	4	2	no	—
162	C₄×D₄	—	4	2	no	—
163	C₄×D₄	—	4	2	no	—
164	C₄×D₄	—	4	2	no	—
165	#117	—	2	1	no	—
166	#117	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	SD₃₂	—	2	8	no	—
175	D₁₆	—	2	8	no	—
176	M₃₂	—	2	2	no	—
177	M₃₂	—	2	2	no	—
178	M₃₂	—	2	2	no	—
179	M₃₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
181	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
182	#108	—	2	1	no	—
183	#108	—	2	1	no	—
184	#108	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	#108	#41	1	2	yes	—
186	#107	—	2	2	no	—
187	#107	—	2	2	no	—
188	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	#106	—	2	1	no	—
190	#106	—	4	1	no	—
191	#106	—	4	1	no	—
192	#104	—	2	4	no	—
193	#104	—	2	4	no	—
194	#103	—	2	2	no	—
195	#102	—	2	2	no	—
196	#102	—	4	2	no	—
197	#102	—	4	2	no	—
198	#102	—	4	2	no	—
199	#102	—	4	2	no	—
200	#97	—	2	2	no	—
201	#97	—	4	1	no	—
202	#97	—	4	1	no	—
203	#97	—	4	1	no	—
204	#97	—	4	1	no	—
205	#97	D₈	1	1	yes	characteristic
206	#97	D₈	1	1	yes	characteristic
207	#97	D₈	1	1	yes	characteristic
208	#97	D₈	1	1	yes	characteristic
209	C₄×C₈	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	4	1	no	—
212	C₄×C₈	—	4	1	no	—
213	C₄×C₈	—	4	1	no	—
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	4	2	no	—
220	C₂⁴	—	4	2	no	—
221	#41	—	2	2	no	—
222	#41	—	2	2	no	—
223	#41	—	4	1	no	—
224	#41	—	4	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	16	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
244	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	Q₁₆	—	2	1	no	—
247	Q₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	SD₁₆	—	2	2	no	—
249	SD₁₆	—	2	2	no	—
250	D₈	—	2	4	no	—
251	D₈	—	2	4	no	—
252	D₈	—	2	1	no	—
253	D₈	—	4	2	no	—
254	D₈	—	4	2	no	—
255	D₈	—	4	4	no	—
256	D₈	—	4	4	no	—
257	D₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	M₁₆	—	2	2	no	—
259	M₁₆	—	2	2	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	—	4	1	no	—
262	M₁₆	—	4	1	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	1	no	—
297	C₄²	—	4	1	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
300	C₄²	#121	1	2	yes	—
301	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
303	C₁₆	—	2	4	no	—
304	C₁₆	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	1	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	8	4	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
312	Q₈	—	2	2	no	—
313	Q₈	—	4	1	no	—
314	D₄	—	2	2	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	1	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	16	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	16	2	no	—
335	C₂×C₄	—	16	4	no	—
336	C₂×C₄	—	16	4	no	—
337	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
345	C₈	—	2	1	no	—
346	C₈	—	2	1	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	4	2	no	—
349	C₈	—	4	2	no	—
350	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
351	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
352	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₈	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
354	C₈	#529	1	1	yes	characteristic
355	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	16	4	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3106	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	8	1	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	16	2	no	—
374	C₄	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
375	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#3035	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3100	1	1	yes	characteristic
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	8	2	no	—
381	C₂	—	16	4	no	—
382	C₂	C₄×#459	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#33595	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#459
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2213	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1726 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#509	C₂	semidirect
3. #21697	C₂	semidirect
4. #20514	C₂	semidirect
5. #13261	C₂	semidirect
6. #13180	C₂	semidirect
7. #13136	C₂	semidirect
8. #13029	C₂	semidirect
9. #12820	C₂	semidirect
10. #12656	C₂	semidirect
11. C₄×#361	C₂	semidirect
21. #2213	C₄	semidirect
57. #509	C₂×C₄	semidirect
63. #493	C₂×C₄	semidirect
67. #443	C₂×C₄	semidirect
72. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect
78. C₄×D₈	D₄	semidirect
109. #364	C₂×C₄	semidirect
111. #361	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2213	2
C₄×#509	2
#21697	2
#20514	2
#13261	2
#13180	2
#13136	2
#13029	2
#12820	2
#12656	2
C₄×#361	2