Subgroups — #495858

Order 512.

732 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21524	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13149	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12637	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2324	—	2	2	no	—
19	#2215	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₄×D₁₆	—	2	4	no	—
21	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
27	#2108	—	2	4	no	—
28	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1970	C₂²	1	2	yes	—
33	#1942	C₂²	1	2	yes	—
34	#1936	—	2	2	no	—
35	#1895	—	2	2	no	—
36	#1808	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
38	#1762	—	2	2	no	—
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#121	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
52	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
53	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#466	—	2	4	no	—
62	#466	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₄×D₈	—	2	4	no	—
64	C₄×D₈	—	2	4	no	—
65	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	#405	—	2	2	no	—
72	#405	—	2	2	no	—
73	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#390	—	2	2	no	—
78	#390	—	4	2	no	—
79	#389	—	2	2	no	—
80	#388	—	4	2	no	—
81	#386	—	4	2	no	—
82	#385	—	4	2	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	#366	—	2	2	no	—
86	#366	—	2	2	no	—
87	#366	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	#357	—	2	4	no	—
89	#357	—	2	4	no	—
90	#357	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	#346	—	2	2	no	—
92	#346	—	2	2	no	—
93	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
94	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×D₈	—	2	2	no	—
103	C₂×D₈	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	—	2	2	no	—
105	C₂×D₈	—	2	2	no	—
106	C₂×D₈	—	2	2	no	—
107	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#121	—	2	8	no	—
122	#121	—	4	4	no	—
123	C₄×D₄	—	4	4	no	—
124	C₄×D₄	—	4	4	no	—
125	#117	—	2	2	no	—
126	#117	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	D₁₆	—	2	8	no	—
144	M₃₂	—	2	8	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
158	#107	—	2	2	no	—
159	#107	—	2	2	no	—
160	#107	—	2	2	no	—
161	#107	—	2	2	no	—
162	#107	—	2	2	no	—
163	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	#102	—	2	8	no	—
165	#102	—	4	4	no	—
166	#102	—	4	4	no	—
167	#97	—	2	2	no	—
168	#97	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
173	#95	—	4	2	no	—
174	#95	—	4	2	no	—
175	#95	—	4	2	no	—
176	C₂⁴	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	16	2	no	—
186	C₂×D₄	—	16	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	D₈	—	2	4	no	—
206	D₈	—	2	4	no	—
207	D₈	—	4	2	no	—
208	D₈	—	4	2	no	—
209	M₁₆	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	16	2	no	—
248	C₄²	#121	1	2	yes	—
249	C₄²	#135	1	2	yes	—
250	C₁₆	—	2	2	no	—
251	C₁₆	—	2	2	no	—
252	C₁₆	—	2	2	no	—
253	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	2	1	no	—
256	C₂³	—	2	1	no	—
257	C₂³	—	2	1	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	8	2	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	2	no	—
267	C₂³	C₄×D₈	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
269	D₄	—	4	4	no	—
270	D₄	—	4	4	no	—
271	D₄	—	8	2	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	D₄	—	16	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	16	8	no	—
300	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₈	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
314	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
315	C₈	#529	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	4	1	no	—
320	C₂²	—	4	1	no	—
321	C₂²	—	4	1	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	16	2	no	—
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	—	16	2	no	—
329	C₂²	—	16	2	no	—
330	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3417	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	4	1	no	—
342	C₄	—	8	4	no	—
343	C₄	—	16	2	no	—
344	C₄	—	16	2	no	—
345	C₄	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3050	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#3168	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	4	2	no	—
350	C₂	—	16	4	no	—
351	C₂	C₄×#466	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#33456	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#33459	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#33607	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33610	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33739	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#33740	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2215	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₁₆	C₂	semidirect
3. C₂×#2108	C₂	semidirect
4. #21524	C₂	semidirect
5. #13235	C₂	semidirect
6. #13165	C₂	semidirect
7. #13149	C₂	semidirect
8. #13061	C₂	semidirect
9. #12834	C₂	semidirect
10. C₄×#366	C₂	semidirect
11. #12637	C₂	semidirect
19. #2215	C₄	semidirect
56. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
62. #466	C₂×C₄	semidirect
87. #366	C₂×C₄	semidirect
90. #357	C₂×C₄	semidirect
94. C₄×C₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2215	2
C₂×C₄×D₁₆	2
C₂×#2108	2
#21524	2
#13235	2
#13165	2
#13149	2
#13061	2
#12834	2
C₄×#366	2
#12637	2