Subgroups — #496106

Order 512.

812 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 307 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄×#495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#13238	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12907	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#346	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#124	—	2	2	no	—
20	#2249	C₄	1	8	yes	complemented
21	#2177	—	2	4	no	—
22	#2176	—	2	4	no	—
23	#2175	—	2	8	no	—
24	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1970	C₂²	1	2	yes	—
38	#1969	C₂²	1	2	yes	—
39	#1968	—	2	2	no	—
40	#1958	—	2	2	no	—
41	#1846	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#124	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
50	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
51	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
52	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
53	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
54	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#495	—	2	4	no	—
63	#495	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
65	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
66	C₄×SD₁₆	—	4	8	no	—
67	C₄×D₈	—	2	4	no	—
68	C₄×D₈	—	2	4	no	—
69	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#106	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×#103	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#391	—	2	2	no	—
83	#390	—	2	2	no	—
84	#388	—	4	4	no	—
85	#382	—	2	2	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
87	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
88	#367	—	2	2	no	—
89	#367	—	2	2	no	—
90	#366	—	2	4	no	—
91	#358	—	2	4	no	—
92	#358	—	2	4	no	—
93	#357	—	2	4	no	—
94	#357	—	2	4	no	—
95	#346	—	2	2	no	—
96	#346	—	2	2	no	—
97	#346	D₄	1	4	yes	—
98	#346	D₄	1	4	yes	—
99	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
100	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	#124	—	2	8	no	—
124	#124	—	4	4	no	—
125	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
126	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
127	C₄×D₄	—	4	4	no	—
128	C₄×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	Q₃₂	—	2	8	no	—
141	SD₃₂	—	2	16	no	—
142	D₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
154	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
155	#107	—	2	2	no	—
156	#107	—	2	2	no	—
157	#107	—	2	2	no	—
158	#107	—	2	2	no	—
159	#106	—	4	4	no	—
160	#103	—	4	4	no	—
161	#103	—	4	4	no	—
162	#102	—	4	4	no	—
163	#102	—	4	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	D₈	1	4	yes	—
169	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
173	#95	—	4	4	no	—
174	#95	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	Q₁₆	—	2	4	no	—
198	Q₁₆	—	2	4	no	—
199	Q₁₆	—	4	2	no	—
200	Q₁₆	—	4	2	no	—
201	SD₁₆	—	4	16	no	—
202	D₈	—	2	4	no	—
203	D₈	—	2	4	no	—
204	D₈	—	4	2	no	—
205	D₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
229	C₄²	—	2	1	no	—
230	C₄²	—	2	1	no	—
231	C₄²	—	4	4	no	—
232	C₄²	—	8	4	no	—
233	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₄²	#127	1	2	yes	—
235	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
236	C₄²	#135	1	2	yes	—
237	C₁₆	—	2	2	no	—
238	C₁₆	—	2	2	no	—
239	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
241	C₂³	—	4	4	no	—
242	C₂³	—	8	2	no	—
243	C₂³	—	8	4	no	—
244	C₂³	—	8	4	no	—
245	C₂³	—	8	2	no	—
246	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
247	Q₈	—	4	4	no	—
248	Q₈	—	4	4	no	—
249	Q₈	—	8	2	no	—
250	Q₈	—	8	2	no	—
251	D₄	—	4	4	no	—
252	D₄	—	4	4	no	—
253	D₄	—	8	2	no	—
254	D₄	—	8	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	8	2	no	—
261	C₂×C₄	—	8	2	no	—
262	C₂×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂×C₄	—	16	8	no	—
267	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	2	2	no	—
276	C₈	—	2	2	no	—
277	C₈	C₄×D₈	1	4	yes	—
278	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
281	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	—	8	8	no	—
283	C₂²	—	8	4	no	—
284	C₂²	—	16	2	no	—
285	C₂²	—	16	2	no	—
286	C₂²	—	16	4	no	—
287	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#3414	1	4	yes	—
291	C₄	—	2	4	no	—
292	C₄	—	2	4	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	—	8	4	no	—
295	C₄	—	16	2	no	—
296	C₄	—	16	2	no	—
297	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
298	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
299	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
300	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
301	C₂	—	16	4	no	—
302	C₂	C₄×#493	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#33451	1	2	yes	—
304	C₂	#33719	1	2	yes	—
305	C₂	#33750	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₁₆	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#2176	C₂	semidirect
4. C₂×#2175	C₂	semidirect
5. C₄×#495	C₂	semidirect
6. #13240	C₂	semidirect
8. #13238	C₂	semidirect
9. #13204	C₂	semidirect
10. #12907	C₂	semidirect
11. C₄×#346	C₂	semidirect
20. #2249	C₄	semidirect
51. C₂×Q₃₂	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
63. #495	C₂×C₄	semidirect
100. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2249	2
C₂×#2177	2
C₂×#2176	2
C₂×#2175	2
C₄×#495	2
#13240	2
#13239	2
#13238	2
#13204	2
#12907	2
C₄×#346	2