Subgroups — #496124

Order 512.

831 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33717	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#21706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13249	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#347	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#509	C₂²	1	4	yes	—
11	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#444	—	2	1	no	—
14	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#442	—	2	1	no	—
16	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
17	#2931	—	2	1	no	—
18	C₄×#127	—	2	1	no	—
19	#2250	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2248	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2246	C₄	1	2	yes	complemented
22	AGL(1,ℤ/16)	—	2	16	no	—
23	C₂×#365	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#361	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#360	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1975	—	2	1	no	—
31	#1975	C₂²	1	2	yes	—
32	#1972	—	2	1	no	—
33	#1972	C₂²	1	2	yes	—
34	#1962	—	2	1	no	—
35	#1957	—	2	1	no	—
36	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#135	—	2	1	no	—
40	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
42	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#131	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	1	no	—
45	C₂×#127	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
48	#509	—	2	8	no	—
49	#509	—	2	8	no	—
50	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
54	#495	—	2	1	no	—
55	#495	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
56	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#493	—	2	1	no	—
58	#493	—	2	1	no	—
59	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#492	—	2	1	no	—
63	#444	—	2	8	no	—
64	#444	—	4	4	no	—
65	#442	—	2	8	no	—
66	#442	—	4	4	no	—
67	#436	—	4	2	no	—
68	C₈×D₄	—	4	2	no	—
69	C₂×#108	—	2	1	no	—
70	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#106	—	2	1	no	—
72	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
73	#423	—	2	1	no	—
74	C₂×#104	—	2	2	no	—
75	C₂×#104	—	2	2	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	#408	—	2	2	no	—
79	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	—	4	2	no	—
87	#384	—	2	1	no	—
88	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
89	#365	—	2	8	no	—
90	#361	—	2	8	no	—
91	#360	—	2	8	no	—
92	#347	—	2	4	no	—
93	#347	D₄	1	8	yes	complemented
94	#346	—	2	1	no	—
95	#346	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
96	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
97	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	#135	—	2	4	no	—
103	#135	—	2	4	no	—
104	#135	—	4	2	no	—
105	#135	—	4	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
107	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	1	no	—
113	C₂×D₈	—	2	4	no	—
114	C₂×D₈	—	2	4	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	4	2	no	—
117	C₂×D₈	—	4	2	no	—
118	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	#131	—	4	4	no	—
121	#131	—	4	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
130	#127	—	2	2	no	—
131	#127	—	2	2	no	—
132	#127	—	2	1	no	—
133	#127	—	4	2	no	—
134	#124	—	2	2	no	—
135	#121	—	4	2	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₄×D₄	—	4	2	no	—
139	C₄×D₄	—	8	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	SD₃₂	—	2	16	no	—
149	D₁₆	—	2	16	no	—
150	M₃₂	—	2	2	no	—
151	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	M₃₂	#41	1	4	yes	—
154	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	#108	—	2	4	no	—
157	#108	—	4	2	no	—
158	#106	—	2	4	no	—
159	#106	—	4	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
161	#104	—	4	4	no	—
162	#104	—	4	4	no	—
163	#102	—	4	4	no	—
164	#102	—	4	4	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
166	#97	—	2	2	no	—
167	#97	—	2	2	no	—
168	#97	—	2	2	no	—
169	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂⁴	—	4	2	no	—
176	#41	—	4	2	no	—
177	#41	—	4	2	no	—
178	#41	—	4	2	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	8	4	no	—
193	C₂×D₄	—	8	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
200	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	Q₁₆	—	2	4	no	—
203	Q₁₆	—	4	2	no	—
204	SD₁₆	—	4	4	no	—
205	SD₁₆	—	4	4	no	—
206	D₈	—	2	4	no	—
207	D₈	—	2	8	no	—
208	D₈	—	4	4	no	—
209	D₈	—	4	4	no	—
210	D₈	—	4	4	no	—
211	D₈	—	4	2	no	—
212	M₁₆	—	4	2	no	—
213	M₁₆	—	4	2	no	—
214	M₁₆	—	8	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	8	4	no	—
222	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
238	C₄²	—	2	1	no	—
239	C₄²	—	2	1	no	—
240	C₄²	—	2	1	no	—
241	C₄²	—	4	4	no	—
242	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	#127	1	2	yes	—
245	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
246	C₁₆	—	2	4	no	—
247	C₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
248	C₂³	—	4	2	no	—
249	C₂³	—	4	4	no	—
250	C₂³	—	8	4	no	—
251	C₂³	—	8	4	no	—
252	C₂³	—	8	2	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
255	Q₈	—	4	2	no	—
256	Q₈	—	4	2	no	—
257	D₄	—	4	4	no	—
258	D₄	—	4	2	no	—
259	D₄	—	4	4	no	—
260	D₄	—	4	2	no	—
261	D₄	—	8	8	no	—
262	D₄	—	8	2	no	—
263	D₄	—	8	2	no	—
264	D₄	—	8	2	no	—
265	D₄	—	8	2	no	—
266	D₄	—	8	4	no	—
267	D₄	—	8	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	4	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	—	16	8	no	—
279	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
287	C₈	—	2	2	no	—
288	C₈	—	4	1	no	—
289	C₈	—	8	2	no	—
290	C₈	#442	1	2	yes	—
291	C₈	#442	1	2	yes	—
292	C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
293	C₈	#532	1	2	yes	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	8	2	no	—
296	C₂²	—	8	4	no	—
297	C₂²	—	8	8	no	—
298	C₂²	—	8	4	no	—
299	C₂²	—	16	2	no	—
300	C₂²	—	16	2	no	—
301	C₂²	—	16	4	no	—
302	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#3184	1	1	yes	characteristic
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	8	1	no	—
308	C₄	—	8	2	no	—
309	C₄	—	16	2	no	—
310	C₄	AGL(1,ℤ/16)	1	4	yes	complemented
311	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
312	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#3184	1	1	yes	characteristic
315	C₂	—	2	1	no	—
316	C₂	—	2	1	no	—
317	C₂	—	16	2	no	—
318	C₂	—	16	4	no	—
319	C₂	#21690	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂×AGL(1,ℤ/16)	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#442
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33717	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	semidirect
3. #21706	C₂	semidirect
4. #21690	C₂	semidirect
5. #13249	C₂	semidirect
6. #13213	C₂	semidirect
7. #13210	C₂	semidirect
8. #12903	C₂	semidirect
9. C₄×#347	C₂	semidirect
19. #2250	C₄	semidirect
20. #2248	C₄	semidirect
21. #2246	C₄	semidirect
50. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
51. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
55. #495	C₂×C₄	semidirect
56. #494	C₂×C₄	semidirect
61. #493	C₂×C₄	semidirect
93. #347	D₄	semidirect
95. #346	C₂×C₄	semidirect
97. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
247. C₁₆	C₄×D₄	semidirect
310. C₄	AGL(1,ℤ/16)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33717	2
C₂×AGL(1,ℤ/16)	2
#21706	2
#21690	2
#13249	2
#13213	2
#13210	2
#12903	2
C₄×#347	2