Subgroups — #496127

Order 512.

757 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33719	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2180	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21694	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13250	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13249	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#510	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
14	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#495	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#443	—	2	1	no	—
18	C₂×#442	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#441	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
21	#2932	—	2	1	no	—
22	#2326	—	2	1	no	—
23	#2251	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2250	C₄	1	2	yes	complemented
25	#2249	C₄	1	4	yes	complemented
26	AGL(1,ℤ/16)	—	2	8	no	—
27	#2180	—	2	8	no	—
28	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1975	C₂²	1	2	yes	—
39	#1974	—	2	1	no	—
40	#1972	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1971	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1968	—	2	1	no	—
43	#1963	—	2	1	no	—
44	#1959	—	2	1	no	—
45	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#135	—	2	1	no	—
49	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	1	no	—
55	C₂×#124	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
58	#510	—	2	4	no	—
59	#510	—	2	4	no	—
60	#509	—	2	4	no	—
61	#509	—	2	4	no	—
62	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
68	#495	—	2	1	no	—
69	#495	—	2	1	no	—
70	#495	—	2	1	no	—
71	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#495	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
74	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
75	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
76	#492	—	2	1	no	—
77	#444	—	2	4	no	—
78	#444	—	2	4	no	—
79	#443	—	4	4	no	—
80	#442	—	2	4	no	—
81	#441	—	2	4	no	—
82	C₄×SD₁₆	—	4	4	no	—
83	#435	—	4	4	no	—
84	C₂×#108	—	2	1	no	—
85	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#106	—	2	1	no	—
87	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#423	—	2	1	no	—
90	C₂×#104	—	2	2	no	—
91	C₂×#104	—	2	2	no	—
92	C₂×#103	—	2	1	no	—
93	C₂×#103	—	2	1	no	—
94	C₂×#102	—	2	1	no	—
95	C₂×#102	—	2	1	no	—
96	#408	—	2	2	no	—
97	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#391	—	2	1	no	—
104	#390	—	2	1	no	—
105	#388	—	4	2	no	—
106	#385	—	4	2	no	—
107	#384	—	2	1	no	—
108	#376	D₄	1	1	yes	characteristic
109	#365	—	2	4	no	—
110	#365	—	2	4	no	—
111	#362	—	2	4	no	—
112	#361	—	2	4	no	—
113	#360	—	2	4	no	—
114	#360	—	2	4	no	—
115	#347	—	2	4	no	—
116	#347	D₄	1	8	yes	complemented
117	#346	—	2	1	no	—
118	#346	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
119	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
120	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
125	#135	—	2	2	no	—
126	#135	—	2	2	no	—
127	#135	—	2	2	no	—
128	#135	—	2	2	no	—
129	#135	—	4	2	no	—
130	#135	—	4	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	2	1	no	—
144	C₂×D₈	—	2	2	no	—
145	C₂×D₈	—	2	2	no	—
146	C₂×D₈	—	2	1	no	—
147	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	#131	—	4	4	no	—
150	#131	—	4	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
159	#127	—	2	1	no	—
160	#124	—	2	2	no	—
161	#124	—	2	2	no	—
162	#124	—	2	2	no	—
163	#124	—	4	2	no	—
164	#121	—	4	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
167	C₄×D₄	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	Q₃₂	—	2	8	no	—
182	SD₃₂	—	2	8	no	—
183	SD₃₂	—	2	8	no	—
184	D₁₆	—	2	8	no	—
185	M₃₂	—	2	2	no	—
186	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	M₃₂	#41	1	4	yes	—
189	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
190	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	#108	—	2	2	no	—
192	#108	—	2	2	no	—
193	#108	—	4	2	no	—
194	#106	—	2	2	no	—
195	#106	—	2	2	no	—
196	#106	—	4	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
198	#104	—	4	4	no	—
199	#104	—	4	4	no	—
200	#103	—	4	2	no	—
201	#103	—	4	2	no	—
202	#102	—	4	2	no	—
203	#102	—	4	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
205	#97	—	2	2	no	—
206	#97	—	2	2	no	—
207	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
213	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
214	#95	—	2	2	no	—
215	#95	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	—	4	1	no	—
217	#41	—	4	2	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	1	no	—
232	C₂×D₄	—	4	1	no	—
233	C₂×D₄	—	4	1	no	—
234	C₂×D₄	—	4	1	no	—
235	C₂×D₄	—	4	1	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
245	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	Q₁₆	—	2	2	no	—
248	Q₁₆	—	2	4	no	—
249	Q₁₆	—	2	2	no	—
250	Q₁₆	—	4	2	no	—
251	Q₁₆	—	4	2	no	—
252	SD₁₆	—	4	2	no	—
253	SD₁₆	—	4	2	no	—
254	SD₁₆	—	4	4	no	—
255	SD₁₆	—	4	4	no	—
256	SD₁₆	—	4	4	no	—
257	D₈	—	2	2	no	—
258	D₈	—	2	4	no	—
259	D₈	—	2	2	no	—
260	D₈	—	4	2	no	—
261	D₈	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	8	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	8	4	no	—
272	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	8	2	no	—
297	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	#127	1	2	yes	—
300	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
301	C₁₆	—	2	4	no	—
302	C₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	1	no	—
308	C₂³	—	8	1	no	—
309	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	4	2	no	—
311	Q₈	—	4	2	no	—
312	Q₈	—	4	2	no	—
313	Q₈	—	4	2	no	—
314	Q₈	—	8	1	no	—
315	Q₈	—	8	1	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	D₄	—	4	2	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	1	no	—
323	D₄	—	8	1	no	—
324	D₄	—	16	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	1	no	—
333	C₂×C₄	—	8	1	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	1	no	—
340	C₂×C₄	—	16	4	no	—
341	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	4	1	no	—
351	C₈	—	8	2	no	—
352	C₈	#442	1	2	yes	—
353	C₈	#442	1	2	yes	—
354	C₈	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
355	C₈	#532	1	2	yes	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	8	2	no	—
358	C₂²	—	8	2	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	16	1	no	—
362	C₂²	—	16	1	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3184	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	8	1	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	16	1	no	—
374	C₄	—	16	1	no	—
375	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3184	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	16	2	no	—
382	C₂	—	16	2	no	—
383	C₂	#21690	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#33469	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#442
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33719	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1726 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	semidirect
3. C₂×#2180	C₂	semidirect
4. #21707	C₂	semidirect
5. #21694	C₂	semidirect
6. #13250	C₂	semidirect
7. #13249	C₂	semidirect
8. #13214	C₂	semidirect
9. #13210	C₂	semidirect
10. #12903	C₂	semidirect
11. #12541	C₂	semidirect
23. #2251	C₄	semidirect
24. #2250	C₄	semidirect
25. #2249	C₄	semidirect
62. C₂×Q₃₂	C₂×C₄	semidirect
64. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
73. #495	C₂×C₄	semidirect
74. #494	C₂×C₄	semidirect
75. #493	C₂×C₄	semidirect
116. #347	D₄	semidirect
118. #346	C₂×C₄	semidirect
120. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33719	2
C₂×AGL(1,ℤ/16)	2
C₂×#2180	2
#21707	2
#21694	2
#13250	2
#13249	2
#13214	2
#13210	2
#12903	2
#12541	2