Subgroups — #496170

Order 512.

1310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#12976	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#12844	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12679	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
10	C₂×C₈×D₄	—	2	8	no	—
11	C₂×C₈×D₄	C₄	1	4	yes	—
12	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
18	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#1374	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂³×D₄	C₈	1	1	yes	characteristic
23	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
26	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
27	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
28	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×C₈	D₄	1	8	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×D₄	C₈	1	4	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₂²⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
46	C₂²×C₁₆	—	4	8	no	—
47	C₂²×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
48	C₈×D₄	—	2	16	no	—
49	C₈×D₄	—	2	8	no	—
50	C₈×D₄	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
61	C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
62	C₂²⋊C₁₆	—	4	8	no	—
63	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
64	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×D₄	C₁₆	1	8	yes	complemented
68	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
69	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
70	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
71	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
72	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
73	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
74	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
75	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
100	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₄×D₄	—	2	16	no	—
111	C₄×D₄	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
124	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
125	C₂×C₁₆	—	4	16	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
129	C₄×C₈	—	2	4	no	—
130	C₄×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂⁴	—	2	2	no	—
132	C₂⁴	—	2	2	no	—
133	C₂⁴	—	4	2	no	—
134	C₂⁴	—	4	2	no	—
135	C₂⁴	—	4	2	no	—
136	C₂⁴	—	4	2	no	—
137	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
138	C₂⁴	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
139	C₂⁴	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
140	C₂⁴	M₃₂	1	4	yes	—
141	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
143	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×D₄	—	2	32	no	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	16	yes	complemented
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
175	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂×C₈	—	2	8	no	—
188	C₂×C₈	—	2	8	no	—
189	C₂×C₈	—	2	8	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	4	no	—
194	C₂×C₈	—	4	8	no	—
195	C₂×C₈	—	4	4	no	—
196	C₂×C₈	—	4	8	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	4	4	no	—
199	C₂×C₈	—	4	8	no	—
200	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
204	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₄²	—	2	2	no	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₁₆	—	4	8	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	4	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	8	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	4	4	no	—
221	C₂³	—	4	4	no	—
222	C₂³	—	4	8	no	—
223	C₂³	—	4	8	no	—
224	C₂³	—	4	8	no	—
225	C₂³	—	4	4	no	—
226	C₂³	—	4	4	no	—
227	C₂³	—	4	8	no	—
228	C₂³	C₂²⋊C₁₆	1	16	yes	complemented
229	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
232	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
233	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂×M₃₂	1	4	yes	—
236	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
237	D₄	—	2	32	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	8	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
268	C₈	—	2	2	no	—
269	C₈	—	2	4	no	—
270	C₈	—	4	2	no	—
271	C₈	—	4	2	no	—
272	C₈	#534	1	4	yes	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	8	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	2	8	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	8	no	—
283	C₂²	—	4	16	no	—
284	C₂²	—	4	16	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	—
289	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	8	yes	—
290	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#2972	1	2	yes	—
292	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#3407	1	2	yes	—
295	C₄	—	2	4	no	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	4	2	no	—
300	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
301	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
302	C₄	#2973	1	2	yes	—
303	C₂	—	2	4	no	—
304	C₂	—	2	8	no	—
305	C₂	—	4	4	no	—
306	C₂	#21738	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₂²×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#33333	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#33486	1	2	yes	—
310	C₂	#33487	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂³×D₄	C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
3. #12976	C₂	semidirect
4. #12844	C₂	semidirect
5. #12679	C₂	semidirect
9. C₂³×C₁₆	C₂²	semidirect
19. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
20. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
21. #1374	C₂²	semidirect
67. C₂²×D₄	C₁₆	semidirect
139. C₂⁴	C₂×C₁₆	semidirect
147. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
174. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
228. C₂³	C₂²⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×D₄	2
C₂²×C₂²⋊C₁₆	2
#12976	2
#12844	2
#12679	2