Subgroups — #496177

Order 512.

1088 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2112	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#12985	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#12847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#525	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
10	#2929	—	2	2	no	—
11	#2929	—	2	2	no	—
12	#2929	—	2	2	no	—
13	#2929	—	2	2	no	—
14	C₂×#435	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×#424	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#407	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#349	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#2112	—	2	2	no	—
22	#2112	—	2	2	no	—
23	#2112	C₂²	1	4	yes	—
24	#2112	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
27	#1377	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#131	—	2	2	no	—
31	C₂×#131	—	2	2	no	—
32	C₂×#131	—	4	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	#525	—	2	1	no	—
47	#525	—	2	2	no	—
48	#525	—	2	1	no	—
49	#525	—	2	1	no	—
50	#525	—	2	2	no	—
51	#525	—	2	1	no	—
52	C₂×#123	C₈	1	2	yes	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	2	yes	—
54	C₂×#121	C₈	1	2	yes	—
55	C₂×#120	C₈	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
59	C₂×M₃₂	—	4	8	no	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
62	#435	—	2	4	no	—
63	#435	—	2	4	no	—
64	#435	—	2	4	no	—
65	#435	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	C₈×D₄	—	2	4	no	—
69	C₈×D₄	—	2	4	no	—
70	#424	—	2	1	no	—
71	#424	—	2	2	no	—
72	#424	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#408	—	2	1	no	—
75	#408	—	2	2	no	—
76	#408	—	2	1	no	—
77	#407	—	2	1	no	—
78	#407	—	2	2	no	—
79	#407	—	2	1	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#349	—	4	8	no	—
87	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#41	—	2	1	no	—
93	C₂×#41	—	2	1	no	—
94	C₂×#41	—	2	1	no	—
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	—	4	2	no	—
97	C₂×#41	—	4	2	no	—
98	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
104	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	M₁₆	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	#131	—	4	8	no	—
116	#131	—	4	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	#123	—	2	2	no	—
154	#123	—	2	2	no	—
155	#123	—	2	4	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	#121	—	2	2	no	—
161	#121	—	2	2	no	—
162	#121	—	2	2	no	—
163	#121	—	2	2	no	—
164	#120	—	2	2	no	—
165	#120	—	2	4	no	—
166	#120	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	2	4	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	4	no	—
171	#117	—	2	1	no	—
172	#117	—	2	1	no	—
173	#117	—	2	1	no	—
174	#117	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	M₃₂	—	2	16	no	—
182	M₃₂	—	4	8	no	—
183	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
184	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
191	#97	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	—	4	4	no	—
195	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
201	#41	—	4	2	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	2	no	—
204	#41	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	4	no	—
206	#41	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	1	no	—
215	C₂×D₄	—	2	1	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	1	no	—
282	C₂×C₈	—	4	8	no	—
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₁₆	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	4	1	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	1	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	16	no	—
317	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
321	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	2	2	no	—
368	C₈	—	2	2	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	#534	1	4	yes	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	4	8	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	4	4	no	—
385	C₂²	—	4	8	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	#2115	1	4	yes	—
391	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2972	1	2	yes	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	4	4	no	—
398	C₄	—	4	2	no	—
399	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2973	1	2	yes	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	2	4	no	—
404	C₂	—	4	2	no	—
405	C₂	—	4	1	no	—
406	C₂	—	4	1	no	—
407	C₂	—	8	2	no	—
408	C₂	#21738	1	1	yes	characteristic
409	C₂	C₂×#2115	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈
prime radical	C₂×#525	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2112	C₂	semidirect
3. #12985	C₂	semidirect
4. #12847	C₂	semidirect
5. #12682	C₂	semidirect
20. C₂×#349	C₂²	semidirect
27. #1377	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2929	2
C₂×#2112	2
#12985	2
#12847	2
#12682	2