Subgroups — #496182

Order 512.

1011 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33337	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#12988	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#12982	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12686	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#532	C₄	1	1	yes	characteristic
10	#3407	C₂²	1	4	yes	complemented
11	#2935	—	2	4	no	—
12	D₄×M₁₆	—	2	4	no	—
13	#2932	C₄	1	2	yes	—
14	#2932	C₂²	1	2	yes	—
15	#2931	C₄	1	2	yes	—
16	#2931	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#2879	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#2879	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2117	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#2115	—	2	4	no	—
23	#2115	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#349	—	2	4	no	—
25	C₂×#349	C₂²	1	4	yes	—
26	#1376	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1375	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	#568	—	4	4	no	—
31	#568	—	4	4	no	—
32	C₂×#131	—	2	2	no	—
33	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
36	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	C₈	1	2	yes	—
47	#532	C₈	1	2	yes	—
48	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	C₈	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#124	C₈	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#124	C₈	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	#504	—	4	8	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
60	#436	—	2	4	no	—
61	#436	—	2	4	no	—
62	#435	—	2	4	no	—
63	#435	—	2	4	no	—
64	#435	—	2	4	no	—
65	#435	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	#408	—	2	2	no	—
73	#408	—	2	2	no	—
74	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#407	—	2	2	no	—
79	#407	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#350	—	4	8	no	—
87	#349	—	2	4	no	—
88	#349	—	2	8	no	—
89	#349	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	—	2	1	no	—
91	C₂×#41	—	2	1	no	—
92	C₂×#41	—	4	2	no	—
93	C₂×#41	—	4	2	no	—
94	C₂×#41	—	4	2	no	—
95	C₂×#41	—	4	2	no	—
96	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
97	C₂×#41	C₂×C₈	1	2	yes	—
98	C₂×#41	C₂×C₈	1	2	yes	—
99	C₂×#41	M₁₆	1	2	yes	—
100	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₄	M₁₆	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	#131	—	2	8	no	—
114	#131	—	2	8	no	—
115	#131	—	4	8	no	—
116	#131	—	4	4	no	—
117	#131	—	4	4	no	—
118	#131	—	4	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
149	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
152	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
153	#124	—	2	2	no	—
154	#124	—	2	2	no	—
155	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
156	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
157	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
158	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
159	#121	—	2	4	no	—
160	#121	—	2	4	no	—
161	#121	—	2	4	no	—
162	#121	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	4	no	—
164	C₄×D₄	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	M₃₂	—	2	8	no	—
180	M₃₂	—	2	8	no	—
181	M₃₂	—	4	8	no	—
182	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
183	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
190	#97	—	2	2	no	—
191	#97	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	1	no	—
195	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
196	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	2	4	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	4	2	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	4	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	4	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
213	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
214	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	1	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	8	4	no	—
225	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
226	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
229	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	8	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	2	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
299	C₁₆	—	4	8	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	8	1	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	2	4	no	—
312	Q₈	—	2	4	no	—
313	Q₈	—	4	2	no	—
314	Q₈	—	4	2	no	—
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	2	4	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	4	2	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	1	no	—
349	C₂×C₄	—	8	1	no	—
350	C₂×C₄	—	8	1	no	—
351	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
358	C₈	—	2	2	no	—
359	C₈	—	2	4	no	—
360	C₈	—	4	2	no	—
361	C₈	—	4	1	no	—
362	C₈	—	4	1	no	—
363	C₈	#534	1	4	yes	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	4	1	no	—
368	C₂²	—	4	1	no	—
369	C₂²	—	4	1	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	16	2	no	—
375	C₂²	—	16	2	no	—
376	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#2973	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	4	1	no	—
383	C₄	—	4	1	no	—
384	C₄	—	4	1	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#2972	1	2	yes	—
389	C₂	—	2	1	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	4	1	no	—
392	C₂	—	4	1	no	—
393	C₂	—	4	4	no	—
394	C₂	—	8	2	no	—
395	C₂	#21738	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2308
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂	#21738
prime radical	C₂×#532	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33337	C₂	semidirect
3. #12988	C₂	semidirect
4. #12982	C₂	semidirect
5. #12849	C₂	semidirect
6. #12686	C₂	semidirect
10. #3407	C₂²	semidirect
21. #2117	C₂²	semidirect
23. #2115	C₂²	semidirect
26. #1376	C₂²	semidirect
27. #1375	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60144	2
#33337	2
#12988	2
#12982	2
#12849	2
#12686	2