Subgroups — #496183

Order 512.

993 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33337	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#12988	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#12982	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12686	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#3449	C₄	1	1	yes	characteristic
10	#3407	C₂²	1	4	yes	complemented
11	#2933	—	2	4	no	—
12	#2933	—	2	4	no	—
13	#2932	C₄	1	2	yes	—
14	#2932	C₂²	1	2	yes	—
15	#2931	C₄	1	2	yes	—
16	#2931	C₂²	1	2	yes	—
17	#2905	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2117	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#2115	—	2	4	no	—
23	#2115	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#349	—	2	4	no	—
25	C₂×#349	C₂²	1	4	yes	—
26	#1376	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1375	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	#568	—	4	4	no	—
31	#568	—	4	4	no	—
32	C₂×#131	—	2	2	no	—
33	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
36	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	#537	—	2	2	no	—
45	#536	C₈	1	2	yes	—
46	#536	C₈	1	2	yes	—
47	#535	C₈	1	2	yes	—
48	#535	C₈	1	2	yes	—
49	#534	—	2	2	no	—
50	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	#525	—	2	2	no	—
53	#525	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	#504	—	4	8	no	—
56	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
57	C₂×M₃₂	C₂³	1	8	yes	—
58	#436	—	2	4	no	—
59	#436	—	2	4	no	—
60	#435	—	2	4	no	—
61	#435	—	2	4	no	—
62	#435	—	2	4	no	—
63	#435	—	2	4	no	—
64	C₈×D₄	—	2	4	no	—
65	C₈×D₄	—	2	4	no	—
66	#424	—	2	2	no	—
67	#424	—	2	2	no	—
68	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#408	—	2	2	no	—
71	#408	—	2	2	no	—
72	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	#405	—	2	2	no	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#350	—	4	8	no	—
85	#349	—	2	4	no	—
86	#349	—	2	8	no	—
87	#349	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	1	no	—
89	C₂×#41	—	2	1	no	—
90	C₂×#41	—	4	2	no	—
91	C₂×#41	—	4	2	no	—
92	C₂×#41	—	4	2	no	—
93	C₂×#41	—	4	2	no	—
94	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
95	C₂×#41	C₂×C₈	1	2	yes	—
96	C₂×#41	C₂×C₈	1	2	yes	—
97	C₂×#41	M₁₆	1	2	yes	—
98	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	M₁₆	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	#131	—	2	8	no	—
110	#131	—	2	8	no	—
111	#131	—	4	8	no	—
112	#131	—	4	4	no	—
113	#131	—	4	4	no	—
114	#131	—	4	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
145	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
146	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
147	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
148	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
149	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
150	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
151	#123	—	2	4	no	—
152	#123	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	#121	—	2	4	no	—
156	#121	—	2	4	no	—
157	#121	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	4	no	—
159	#120	—	2	4	no	—
160	#120	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	#117	—	2	1	no	—
164	#117	—	2	1	no	—
165	#117	C₂×C₈	1	2	yes	—
166	#117	C₂×C₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	M₃₂	—	2	8	no	—
172	M₃₂	—	2	8	no	—
173	M₃₂	—	4	8	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
175	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
182	#97	—	2	2	no	—
183	#97	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	1	no	—
187	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
189	#41	—	2	4	no	—
190	#41	—	2	4	no	—
191	#41	—	2	4	no	—
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	4	2	no	—
194	#41	—	4	2	no	—
195	#41	—	4	4	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	#41	—	4	4	no	—
198	#41	—	4	2	no	—
199	#41	—	4	4	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
205	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
206	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	1	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
217	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
218	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
219	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
220	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	2	4	no	—
244	M₁₆	—	2	8	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	4	2	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
283	C₁₆	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	8	1	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	4	no	—
296	Q₈	—	2	4	no	—
297	Q₈	—	4	2	no	—
298	Q₈	—	4	2	no	—
299	D₄	—	2	8	no	—
300	D₄	—	2	4	no	—
301	D₄	—	2	4	no	—
302	D₄	—	4	2	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	2	no	—
305	D₄	—	4	4	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	D₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	1	no	—
328	C₂×C₄	—	8	1	no	—
329	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	2	4	no	—
338	C₈	—	4	2	no	—
339	C₈	—	4	1	no	—
340	C₈	—	4	1	no	—
341	C₈	#534	1	4	yes	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	4	1	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	16	2	no	—
353	C₂²	—	16	2	no	—
354	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2973	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2972	1	2	yes	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	4	1	no	—
368	C₂	—	4	1	no	—
369	C₂	—	4	4	no	—
370	C₂	—	8	2	no	—
371	C₂	#21738	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2308
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂	#21738
prime radical	#3449	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33337	C₂	semidirect
3. #12988	C₂	semidirect
4. #12982	C₂	semidirect
5. #12850	C₂	semidirect
6. #12686	C₂	semidirect
10. #3407	C₂²	semidirect
21. #2117	C₂²	semidirect
23. #2115	C₂²	semidirect
26. #1376	C₂²	semidirect
27. #1375	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60143	2
#33337	2
#12988	2
#12982	2
#12850	2
#12686	2