Subgroups — #496185

Order 512.

1120 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#12977	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#12845	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#525	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#2929	—	2	4	no	—
14	#2929	—	2	4	no	—
15	C₂×#435	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#435	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#424	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#407	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2112	—	2	4	no	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1374	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#131	—	2	2	no	—
34	C₂×#131	—	2	2	no	—
35	C₂×#131	—	4	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
44	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#525	—	2	4	no	—
50	#525	—	2	4	no	—
51	C₂×#123	C₈	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#120	C₈	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
61	C₂×M₃₂	—	4	4	no	—
62	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₁₆	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
66	#435	—	2	8	no	—
67	#435	—	2	8	no	—
68	C₈×D₄	—	2	4	no	—
69	C₈×D₄	—	2	4	no	—
70	C₈×D₄	—	2	4	no	—
71	C₈×D₄	—	2	4	no	—
72	#424	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#408	—	2	4	no	—
76	#407	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#405	—	2	2	no	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	4	8	no	—
90	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	4	2	no	—
94	C₂×#41	—	4	2	no	—
95	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	#131	—	4	8	no	—
112	#131	—	4	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#123	—	2	8	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	#121	—	2	4	no	—
149	#121	—	2	4	no	—
150	#120	—	2	8	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	M₃₂	—	4	8	no	—
168	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
172	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
179	#97	—	2	4	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	4	2	no	—
184	C₂⁴	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	8	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
235	M₁₆	—	4	8	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₁₆	—	4	4	no	—
274	C₁₆	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	16	no	—
291	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
294	C₂³	#504	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	2	2	no	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	—	4	2	no	—
337	C₈	#534	1	2	yes	—
338	C₈	#534	1	2	yes	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	4	16	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	8	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	#2113	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2972	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
359	C₂²	#3407	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2973	1	2	yes	—
369	C₂	—	2	4	no	—
370	C₂	—	4	2	no	—
371	C₂	—	4	2	no	—
372	C₂	—	8	2	no	—
373	C₂	#21738	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#2113	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#33333	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#33490	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂×#525	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2112	C₂	semidirect
3. C₂²×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
4. #12977	C₂	semidirect
5. #12976	C₂	semidirect
6. #12845	C₂	semidirect
7. #12680	C₂	semidirect
29. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
30. #1374	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2929	2
C₂×#2112	2
C₂²×C₂²⋊C₁₆	2
#12977	2
#12976	2
#12845	2
#12680	2