Subgroups — #496376

Order 512.

1027 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60648	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20787	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13259	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13216	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#12744	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12742	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#578	—	2	1	no	—
10	C₂×#578	C₂²	1	2	yes	—
11	#3499	—	2	1	no	—
12	#3156	—	2	2	no	—
13	#3156	—	2	1	no	—
14	#3156	C₄	1	4	yes	complemented
15	#3156	C₂²	1	2	yes	—
16	#3152	—	2	2	no	—
17	#3152	—	2	1	no	—
18	#3147	C₄	1	2	yes	complemented
19	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#494	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2166	—	2	2	no	—
24	#2165	—	2	2	no	—
25	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#362	C₂²	1	4	yes	—
27	#2145	C₂²	1	4	yes	—
28	#2143	C₂²	1	4	yes	—
29	#2141	C₂²	1	4	yes	—
30	#2115	C₂²	1	2	yes	—
31	#2110	C₂²	1	2	yes	—
32	#1841	—	2	1	no	—
33	#1833	C₂²	1	2	yes	—
34	#1827	—	2	1	no	—
35	#1813	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1812	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1772	C₂²	1	2	yes	—
38	#1757	—	2	1	no	—
39	#1747	—	2	1	no	—
40	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
41	#578	—	4	4	no	—
42	#578	—	4	4	no	—
43	#578	—	4	4	no	—
44	#578	—	4	4	no	—
45	C₂×#137	—	2	4	no	—
46	C₂×#137	—	2	2	no	—
47	C₂×#137	—	2	4	no	—
48	C₂×#137	—	2	2	no	—
49	C₂×#135	—	2	2	no	—
50	C₂×#135	—	2	1	no	—
51	C₂×#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	D₄×Q₈	—	4	2	no	—
60	#547	—	4	4	no	—
61	#547	—	4	2	no	—
62	#536	—	2	4	no	—
63	#536	—	2	2	no	—
64	#532	—	2	2	no	—
65	#532	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
68	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
70	#497	—	2	4	no	—
71	#497	—	2	4	no	—
72	#497	—	2	4	no	—
73	#495	—	2	2	no	—
74	#495	—	2	1	no	—
75	#495	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#494	—	2	2	no	—
78	#494	—	2	2	no	—
79	#494	—	2	1	no	—
80	#494	—	2	1	no	—
81	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#494	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#494	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#494	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	#492	—	2	2	no	—
87	#492	—	2	1	no	—
88	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
89	#427	C₂³	1	2	yes	—
90	#413	—	2	1	no	—
91	#410	—	2	1	no	—
92	#405	—	2	2	no	—
93	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#405	D₄	1	2	yes	—
96	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#364	—	2	2	no	—
102	#364	—	2	2	no	—
103	#362	—	4	4	no	—
104	#360	—	4	4	no	—
105	#359	—	4	4	no	—
106	#358	—	4	4	no	—
107	#349	—	2	4	no	—
108	#347	—	2	4	no	—
109	#344	—	2	2	no	—
110	#339	—	2	2	no	—
111	#338	—	2	1	no	—
112	H(3,ℤ/4)	—	2	1	no	—
113	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
114	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
115	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
116	C₂×#41	—	2	4	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	4	4	no	—
119	C₂×#41	—	4	2	no	—
120	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
124	#137	—	4	8	no	—
125	#137	—	4	8	no	—
126	#137	—	4	16	no	—
127	#137	—	4	16	no	—
128	#135	—	2	4	no	—
129	#135	—	2	4	no	—
130	#135	—	4	4	no	—
131	#135	—	4	4	no	—
132	#135	—	4	4	no	—
133	#135	—	4	4	no	—
134	#135	—	4	2	no	—
135	#135	—	4	2	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×D₈	—	2	1	no	—
157	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	#131	—	2	2	no	—
159	#131	—	2	2	no	—
160	#131	—	2	2	no	—
161	#131	—	2	2	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
177	#127	—	2	1	no	—
178	#124	—	2	4	no	—
179	#124	—	2	2	no	—
180	#123	—	4	4	no	—
181	#123	—	4	8	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
184	#121	—	4	2	no	—
185	#121	—	4	4	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
187	C₄×D₄	—	2	1	no	—
188	C₄×D₄	—	2	2	no	—
189	C₄×D₄	—	4	2	no	—
190	C₄×D₄	—	4	4	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	M₃₂	—	2	4	no	—
199	M₃₂	—	2	4	no	—
200	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
201	#108	—	2	2	no	—
202	#108	—	2	2	no	—
203	#107	—	2	2	no	—
204	#106	—	2	2	no	—
205	#101	—	4	1	no	—
206	#100	—	4	1	no	—
207	#99	—	4	2	no	—
208	#97	—	4	2	no	—
209	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	#97	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	#41	—	2	2	no	—
221	#41	—	2	2	no	—
222	#41	—	4	8	no	—
223	#41	—	4	8	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	8	16	no	—
227	#41	—	8	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
237	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
243	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	Q₁₆	—	2	4	no	—
253	Q₁₆	—	2	4	no	—
254	Q₁₆	—	2	2	no	—
255	Q₁₆	—	2	2	no	—
256	Q₁₆	—	4	8	no	—
257	Q₁₆	—	4	8	no	—
258	Q₁₆	—	4	4	no	—
259	Q₁₆	—	4	1	no	—
260	Q₁₆	—	4	1	no	—
261	Q₁₆	—	4	2	no	—
262	Q₁₆	—	4	2	no	—
263	Q₁₆	—	4	4	no	—
264	SD₁₆	—	4	8	no	—
265	SD₁₆	—	4	8	no	—
266	SD₁₆	—	4	4	no	—
267	SD₁₆	—	4	4	no	—
268	D₈	—	2	2	no	—
269	D₈	—	2	2	no	—
270	D₈	—	4	1	no	—
271	D₈	—	4	1	no	—
272	M₁₆	—	2	2	no	—
273	M₁₆	—	2	2	no	—
274	M₁₆	—	2	4	no	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
310	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₁₆	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	#418	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	2	2	no	—
316	Q₈	—	4	4	no	—
317	Q₈	—	4	2	no	—
318	Q₈	—	4	4	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	8	8	no	—
321	Q₈	—	8	4	no	—
322	D₄	—	2	4	no	—
323	D₄	—	2	2	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	8	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	8	no	—
339	C₂×C₄	—	8	8	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	8	2	no	—
351	C₈	#418	1	1	yes	characteristic
352	C₈	#418	1	1	yes	characteristic
353	C₈	#418	1	2	yes	—
354	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
355	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
356	C₈	#535	1	2	yes	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3217	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	—	16	2	no	—
371	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#3217	1	2	yes	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	4	2	no	—
377	C₂	—	16	2	no	—
378	C₂	#21810	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#21810
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#60648	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33428	C₂	semidirect
3. #20787	C₂	semidirect
4. #13262	C₂	semidirect
5. #13259	C₂	semidirect
6. #13216	C₂	semidirect
7. #12744	C₂	semidirect
8. #12742	C₂	semidirect
14. #3156	C₄	semidirect
18. #3147	C₄	semidirect
20. C₂×#494	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60648	2
#33428	2
#20787	2
#13262	2
#13259	2
#13216	2
#12744	2
#12742	2