Subgroups — #496461

Order 512.

768 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 317 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13267	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13266	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13192	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13191	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12978	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#12787	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3455	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
12	#2967	—	2	4	no	—
13	#2966	—	2	4	no	—
14	#2961	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#2960	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2932	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2930	C₄	1	2	yes	—
19	#2929	C₂²	1	2	yes	—
20	#2923	C₄	1	2	yes	—
21	#2921	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2164	—	2	4	no	—
25	#2151	—	2	4	no	—
26	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2150	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#350	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#350	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1379	C₂²	1	4	yes	—
36	#1379	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#542	C₈	1	4	yes	—
42	#541	C₈	1	2	yes	—
43	#540	C₈	1	2	yes	—
44	#539	—	2	2	no	—
45	#538	—	2	2	no	—
46	#533	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	#532	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	#529	—	2	4	no	—
49	#525	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
53	C₂×M₃₂	—	4	4	no	—
54	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	#446	—	2	4	no	—
60	#446	—	2	2	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	2	no	—
64	#435	—	2	4	no	—
65	#435	—	2	4	no	—
66	#435	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	C₈×D₄	—	2	2	no	—
69	#433	—	2	4	no	—
70	#433	—	2	4	no	—
71	#432	—	2	4	no	—
72	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#423	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	#423	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#407	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#405	D₄	1	4	yes	—
83	#405	D₄	1	4	yes	—
84	#405	C₂³	1	2	yes	—
85	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
86	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
93	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
94	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
96	#350	—	4	4	no	—
97	#350	—	4	4	no	—
98	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
99	#346	—	2	2	no	—
100	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	#131	—	2	4	no	—
104	#131	—	2	4	no	—
105	#131	—	4	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
124	#127	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
125	#126	—	2	4	no	—
126	#126	—	2	4	no	—
127	#125	—	2	4	no	—
128	#125	C₂×C₈	1	2	yes	—
129	#124	—	2	4	no	—
130	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	#123	—	2	2	no	—
132	#123	—	2	4	no	—
133	#123	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
137	#121	—	2	2	no	—
138	#121	—	2	4	no	—
139	#121	C₂×C₈	1	4	yes	—
140	#120	—	2	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	#117	C₂×C₈	1	2	yes	—
150	#117	C₂×C₈	1	2	yes	—
151	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	2	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	M₁₆	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	M₃₂	—	2	4	no	—
158	M₃₂	—	2	4	no	—
159	M₃₂	—	4	4	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
176	#97	—	2	2	no	—
177	#97	—	2	2	no	—
178	#97	—	2	2	no	—
179	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
180	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
189	#41	—	2	4	no	—
190	#41	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	M₁₆	—	2	4	no	—
208	M₁₆	—	2	4	no	—
209	M₁₆	—	4	4	no	—
210	M₁₆	—	4	4	no	—
211	M₁₆	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
244	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
250	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
252	C₁₆	—	4	2	no	—
253	C₁₆	—	4	2	no	—
254	C₁₆	—	4	2	no	—
255	C₁₆	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	2	4	no	—
262	Q₈	—	8	2	no	—
263	D₄	—	2	4	no	—
264	D₄	—	4	4	no	—
265	D₄	—	8	2	no	—
266	D₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	2	2	no	—
288	C₈	—	2	2	no	—
289	C₈	—	4	2	no	—
290	C₈	—	4	2	no	—
291	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
292	C₈	#536	1	1	yes	characteristic
293	C₈	#537	1	2	yes	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	4	4	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	8	2	no	—
300	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#2989	1	2	yes	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
309	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
310	C₄	#2988	1	2	yes	—
311	C₂	—	2	2	no	—
312	C₂	—	4	2	no	—
313	C₂	—	8	2	no	—
314	C₂	#21847	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#33340	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈
prime radical	#3455	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2164	C₂	semidirect
3. #33397	C₂	semidirect
4. #13267	C₂	semidirect
5. #13266	C₂	semidirect
6. #13192	C₂	semidirect
7. #13191	C₂	semidirect
8. #12978	C₂	semidirect
9. #12787	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60206	2
C₂×#2164	2
#33397	2
#13267	2
#13266	2
#13192	2
#13191	2
#12978	2
#12787	2