Subgroups — #496489

Order 512.

886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13284	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13281	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12991	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12813	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12811	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#540	—	2	1	no	—
13	#3176	—	2	4	no	—
14	#3176	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#499	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#490	—	2	1	no	—
18	C₂×#469	—	2	1	no	—
19	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#442	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#428	—	2	1	no	—
23	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2317	—	2	1	no	—
27	#2164	—	2	4	no	—
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1847	—	2	1	no	—
37	#1847	—	2	1	no	—
38	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1380	C₂²	1	2	yes	—
43	#1380	C₂²	1	2	yes	—
44	#1380	C₂²	1	2	yes	—
45	#1380	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#540	—	2	8	no	—
51	#540	—	4	4	no	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#125	—	2	1	no	—
54	C₂×#123	—	4	2	no	—
55	C₂×#121	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	4	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×#117	—	2	1	no	—
59	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	#499	—	2	2	no	—
64	#499	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	#493	—	2	2	no	—
66	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	#490	—	2	8	no	—
68	#469	—	2	8	no	—
69	#466	—	2	4	no	—
70	#466	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	#442	—	2	8	no	—
72	C₄×D₈	—	2	4	no	—
73	C₄×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
74	#428	—	4	4	no	—
75	#427	—	4	2	no	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	—	2	1	no	—
79	C₂×#107	—	4	2	no	—
80	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#106	—	2	1	no	—
86	C₂×#106	—	2	1	no	—
87	C₂×#106	—	2	1	no	—
88	C₂×#106	—	2	1	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#405	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#389	—	4	2	no	—
98	#385	—	4	2	no	—
99	#384	—	2	1	no	—
100	#384	—	2	1	no	—
101	#382	—	2	1	no	—
102	#382	—	2	1	no	—
103	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
104	#357	—	4	2	no	—
105	#357	—	4	2	no	—
106	#357	—	4	2	no	—
107	#357	—	4	2	no	—
108	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
109	#346	—	2	2	no	—
110	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×D₈	—	2	4	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	4	2	no	—
124	C₂×D₈	—	4	2	no	—
125	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	#127	—	2	4	no	—
138	#127	—	4	2	no	—
139	#125	—	2	4	no	—
140	#125	—	4	2	no	—
141	#123	—	4	16	no	—
142	#121	—	2	8	no	—
143	#121	—	4	4	no	—
144	#121	—	4	16	no	—
145	C₄×D₄	—	2	8	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	#117	—	4	2	no	—
148	#117	—	4	2	no	—
149	#117	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	#117	SD₁₆	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
176	#107	—	2	2	no	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	2	2	no	—
179	#107	—	2	2	no	—
180	#107	—	2	2	no	—
181	#107	—	4	2	no	—
182	#107	—	4	2	no	—
183	#107	—	4	2	no	—
184	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	#106	—	2	4	no	—
186	#106	—	4	2	no	—
187	#106	—	4	2	no	—
188	#106	—	4	2	no	—
189	#102	—	2	8	no	—
190	#102	—	2	8	no	—
191	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	#95	—	4	2	no	—
198	#95	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	16	2	no	—
210	C₂×D₄	—	16	2	no	—
211	C₂×D₄	—	16	2	no	—
212	C₂×D₄	—	16	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	D₈	—	2	4	no	—
234	D₈	—	2	4	no	—
235	D₈	—	4	2	no	—
236	D₈	—	4	2	no	—
237	D₈	—	4	8	no	—
238	M₁₆	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
268	C₄⋊C₄	#102	1	8	yes	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	#102	1	8	yes	—
273	C₄²	—	8	2	no	—
274	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
278	C₁₆	—	4	2	no	—
279	C₁₆	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	8	2	no	—
296	D₄	—	8	2	no	—
297	D₄	—	16	8	no	—
298	D₄	—	16	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	8	1	no	—
319	C₂×C₄	—	8	1	no	—
320	C₂×C₄	—	16	8	no	—
321	C₂×C₄	—	16	4	no	—
322	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	#417	1	4	yes	—
334	C₈	#520	1	2	yes	—
335	C₈	#537	1	2	yes	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	1	no	—
340	C₂²	—	4	1	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	2	no	—
348	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3226	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#3415	1	2	yes	—
352	C₂²	#3416	1	2	yes	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	8	4	no	—
357	C₄	—	16	1	no	—
358	C₄	—	16	1	no	—
359	C₄	—	16	1	no	—
360	C₄	—	16	1	no	—
361	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
362	C₄	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#3206	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#3227	1	1	yes	characteristic
365	C₂	—	4	2	no	—
366	C₂	—	16	4	no	—
367	C₂	#21859	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#33381	1	2	yes	—
369	C₂	#33786	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#33787	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#33807	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3176	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2164	C₂	semidirect
3. #20803	C₂	semidirect
4. #13284	C₂	semidirect
5. #13281	C₂	semidirect
6. #13206	C₂	semidirect
7. #13202	C₂	semidirect
8. #12992	C₂	semidirect
9. #12991	C₂	semidirect
10. #12813	C₂	semidirect
11. #12811	C₂	semidirect
14. #3176	C₄	semidirect
64. #499	C₂×C₄	semidirect
66. #493	C₂×C₄	semidirect
73. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3176	2
C₂×#2164	2
#20803	2
#13284	2
#13281	2
#13206	2
#13202	2
#12992	2
#12991	2
#12813	2
#12811	2