Subgroups — #496498

Order 512.

878 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13288	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13211	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13001	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#12817	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3444	—	2	1	no	—
9	#3170	C₄	1	2	yes	complemented
10	#3169	C₄	1	2	yes	complemented
11	#3168	—	2	2	no	—
12	#3168	C₄	1	4	yes	complemented
13	#3167	—	2	2	no	—
14	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3131	—	2	1	no	—
17	#3050	—	2	1	no	—
18	#3050	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#135	—	2	1	no	—
20	C₄×#135	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#107	—	2	1	no	—
22	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#382	—	2	1	no	—
25	#2163	—	2	2	no	—
26	#2162	—	2	2	no	—
27	#2150	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#360	C₂²	1	8	yes	—
29	#2112	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
31	#1846	—	2	1	no	—
32	#1846	—	2	1	no	—
33	#1846	C₂²	1	2	yes	—
34	#1846	C₂²	1	2	yes	—
35	#1386	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂×#135	—	2	1	no	—
37	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#533	—	2	2	no	—
41	#533	—	2	1	no	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	—	2	1	no	—
44	#529	—	2	4	no	—
45	#529	—	4	2	no	—
46	#529	—	4	2	no	—
47	#525	—	2	2	no	—
48	#525	—	4	2	no	—
49	C₄×#41	—	2	2	no	—
50	C₄×#41	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
54	#500	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
55	#499	—	2	1	no	—
56	#499	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
57	#498	—	2	1	no	—
58	#495	—	2	1	no	—
59	#495	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
60	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#492	—	2	1	no	—
63	#488	—	2	4	no	—
64	#487	—	2	2	no	—
65	#486	—	2	2	no	—
66	#467	—	2	2	no	—
67	#467	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#466	—	2	2	no	—
69	#466	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#465	—	2	4	no	—
71	#465	—	2	4	no	—
72	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
73	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
74	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
75	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
76	C₄×D₈	—	2	2	no	—
77	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
78	#427	—	2	1	no	—
79	#427	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#107	—	2	2	no	—
81	C₂×#107	—	2	2	no	—
82	C₂×#107	—	4	4	no	—
83	C₂×#106	—	2	2	no	—
84	C₂×#106	—	4	4	no	—
85	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
86	#416	—	2	2	no	—
87	#416	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#382	—	2	2	no	—
97	#382	—	2	2	no	—
98	#382	—	4	2	no	—
99	C₂×#95	—	4	2	no	—
100	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
101	#360	—	4	8	no	—
102	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
103	#346	—	2	2	no	—
104	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	4	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
108	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	#135	—	2	4	no	—
111	#135	—	2	4	no	—
112	#135	—	4	2	no	—
113	#135	—	4	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
115	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	1	no	—
119	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
134	#127	—	2	1	no	—
135	#126	—	4	4	no	—
136	#125	—	2	2	no	—
137	#125	—	4	2	no	—
138	#124	—	2	2	no	—
139	#124	—	4	2	no	—
140	#123	—	4	4	no	—
141	#123	—	4	2	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
145	#121	—	2	4	no	—
146	#121	—	4	2	no	—
147	#121	—	4	2	no	—
148	#120	—	4	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	4	4	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	2	no	—
157	C₄×D₄	—	4	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	4	2	no	—
160	#117	—	4	4	no	—
161	#117	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	SD₁₆	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	M₃₂	—	2	4	no	—
175	M₃₂	—	2	4	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	4	4	no	—
179	#107	—	4	4	no	—
180	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	#106	—	2	2	no	—
182	#106	—	2	2	no	—
183	#106	—	2	8	no	—
184	#106	—	4	4	no	—
185	#103	—	2	4	no	—
186	#103	—	2	4	no	—
187	#102	—	2	4	no	—
188	#102	—	2	4	no	—
189	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	#95	—	4	4	no	—
200	#95	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	2	no	—
204	#41	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	8	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
223	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#102	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	Q₁₆	—	2	4	no	—
234	Q₁₆	—	4	2	no	—
235	SD₁₆	—	4	4	no	—
236	SD₁₆	—	4	4	no	—
237	D₈	—	2	4	no	—
238	D₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	#102	1	2	yes	—
274	C₄²	#102	1	2	yes	—
275	C₄²	#102	1	2	yes	—
276	C₄²	#102	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
283	C₁₆	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	C₂×#102	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	4	2	no	—
291	Q₈	—	4	2	no	—
292	Q₈	—	8	4	no	—
293	D₄	—	4	2	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	8	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	8	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	—	16	8	no	—
319	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	#417	1	2	yes	—
333	C₈	#417	1	2	yes	—
334	C₈	#520	1	2	yes	—
335	C₈	#537	1	2	yes	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	#2145	1	4	yes	—
344	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3226	1	1	yes	characteristic
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	8	2	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	—	16	4	no	—
355	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
356	C₄	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#3206	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#3227	1	1	yes	characteristic
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	2	4	no	—
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	16	2	no	—
363	C₂	#21859	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂×#2145	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#102
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#60673	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33418	C₂	semidirect
3. C₂×#1846	C₂	semidirect
4. #13288	C₂	semidirect
5. #13211	C₂	semidirect
6. #13001	C₂	semidirect
7. #12817	C₂	semidirect
9. #3170	C₄	semidirect
10. #3169	C₄	semidirect
12. #3168	C₄	semidirect
54. #500	C₂×C₄	semidirect
56. #499	C₂×C₄	semidirect
59. #495	C₂×C₄	semidirect
60. #494	C₂×C₄	semidirect
61. #493	C₂×C₄	semidirect
73. C₄×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
77. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60673	2
#33418	2
C₂×#1846	2
#13288	2
#13211	2
#13001	2
#12817	2