Subgroups — #496615

Order 512.

739 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 341 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60717	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33401	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20787	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13273	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13259	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13077	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13076	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12828	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3512	—	2	1	no	—
10	#3407	C₂²	1	2	yes	—
11	#3183	C₄	1	4	yes	complemented
12	#3177	C₄	1	2	yes	complemented
13	#3176	C₄	1	2	yes	complemented
14	#3174	—	2	2	no	—
15	#3168	—	2	2	no	—
16	C₂×#499	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#3142	—	2	1	no	—
19	#3061	—	2	1	no	—
20	#3060	C₂²	1	2	yes	—
21	#2952	C₂²	1	2	yes	—
22	#2951	—	2	1	no	—
23	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2153	—	2	2	no	—
25	#2153	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#364	—	2	2	no	—
27	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
28	#2145	C₂²	1	4	yes	—
29	#2143	C₂²	1	4	yes	—
30	#1841	—	2	1	no	—
31	#1833	C₂²	1	2	yes	—
32	#1827	—	2	1	no	—
33	#1813	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1812	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1772	C₂²	1	2	yes	—
36	#1757	—	2	1	no	—
37	#1747	—	2	1	no	—
38	#1386	C₂²	1	4	yes	—
39	#1383	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#135	—	2	1	no	—
41	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#553	—	4	2	no	—
45	#553	—	4	4	no	—
46	#552	—	4	2	no	—
47	#541	—	2	2	no	—
48	#540	—	2	2	no	—
49	#537	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	1	no	—
51	#529	—	2	4	no	—
52	C₂×#125	—	2	1	no	—
53	#520	—	2	2	no	—
54	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
55	#504	—	4	4	no	—
56	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
57	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
58	#499	—	2	1	no	—
59	#499	—	2	1	no	—
60	#499	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#499	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#495	—	2	1	no	—
63	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	#492	—	2	1	no	—
67	#491	—	2	2	no	—
68	#490	—	2	2	no	—
69	#488	—	2	4	no	—
70	#470	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#469	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#468	—	2	4	no	—
73	#467	—	2	2	no	—
74	#466	—	2	2	no	—
75	#465	—	2	4	no	—
76	#442	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#441	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#440	—	2	4	no	—
79	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
81	C₄×D₈	—	2	2	no	—
82	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
83	#427	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#107	—	2	1	no	—
85	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
86	#417	—	2	2	no	—
87	#417	—	2	2	no	—
88	#413	—	2	1	no	—
89	#410	—	2	1	no	—
90	#405	—	2	2	no	—
91	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#405	D₄	1	2	yes	—
94	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#364	—	2	2	no	—
100	#364	—	2	4	no	—
101	#364	—	2	2	no	—
102	#360	—	4	4	no	—
103	#359	—	4	4	no	—
104	#344	—	2	2	no	—
105	#339	—	2	2	no	—
106	#338	—	2	1	no	—
107	H(3,ℤ/4)	—	2	1	no	—
108	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	#135	—	2	4	no	—
112	#135	—	2	4	no	—
113	#135	—	4	2	no	—
114	#135	—	4	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
116	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	1	no	—
120	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	#131	—	2	2	no	—
122	#131	—	2	2	no	—
123	#131	—	2	2	no	—
124	#131	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
135	#127	—	2	1	no	—
136	#126	—	4	4	no	—
137	#126	—	4	4	no	—
138	#125	—	2	2	no	—
139	#125	—	2	2	no	—
140	#125	—	4	2	no	—
141	#125	—	4	4	no	—
142	#124	—	2	2	no	—
143	#123	—	4	4	no	—
144	#123	—	4	4	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
147	#121	—	2	4	no	—
148	#121	—	4	4	no	—
149	#121	—	4	2	no	—
150	#121	—	4	2	no	—
151	#121	—	4	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	1	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	2	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	4	4	no	—
162	#117	—	4	2	no	—
163	#117	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	M₃₂	—	2	4	no	—
171	M₃₂	—	2	4	no	—
172	M₃₂	—	4	4	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
174	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
175	#108	—	2	2	no	—
176	#108	—	2	2	no	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	2	2	no	—
179	#107	—	2	2	no	—
180	#106	—	2	2	no	—
181	#106	—	2	2	no	—
182	#106	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	#103	—	2	4	no	—
184	#103	—	2	4	no	—
185	#102	—	2	4	no	—
186	#102	—	2	4	no	—
187	#101	—	4	1	no	—
188	#100	—	4	1	no	—
189	#99	—	4	2	no	—
190	#97	—	4	2	no	—
191	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	#97	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	#97	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	—	4	2	no	—
195	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	2	2	no	—
203	#41	—	2	2	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
213	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	Q₁₆	—	2	4	no	—
222	Q₁₆	—	4	1	no	—
223	Q₁₆	—	4	1	no	—
224	SD₁₆	—	4	2	no	—
225	SD₁₆	—	4	2	no	—
226	SD₁₆	—	4	4	no	—
227	D₈	—	2	4	no	—
228	D₈	—	4	1	no	—
229	D₈	—	4	1	no	—
230	M₁₆	—	2	2	no	—
231	M₁₆	—	2	2	no	—
232	M₁₆	—	2	4	no	—
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
251	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₁₆	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	#418	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	2	2	no	—
281	Q₈	—	4	2	no	—
282	Q₈	—	4	2	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	2	2	no	—
285	D₄	—	4	2	no	—
286	D₄	—	4	2	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	D₄	—	16	2	no	—
289	D₄	—	16	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	1	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	16	4	no	—
302	C₂×C₄	—	16	2	no	—
303	C₂×C₄	#418	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	8	2	no	—
311	C₈	#416	1	1	yes	characteristic
312	C₈	#416	1	1	yes	characteristic
313	C₈	#416	1	2	yes	—
314	C₈	#520	1	2	yes	—
315	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
316	C₈	#536	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	4	1	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	8	2	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	8	2	no	—
323	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#3247	1	2	yes	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	4	1	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	1	no	—
329	C₄	—	8	4	no	—
330	C₄	—	8	2	no	—
331	C₄	—	16	2	no	—
332	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3247	1	2	yes	—
335	C₂	—	2	1	no	—
336	C₂	—	2	2	no	—
337	C₂	—	4	2	no	—
338	C₂	—	16	2	no	—
339	C₂	#21888	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#21888
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#60717	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33401	C₂	semidirect
3. #20787	C₂	semidirect
4. #13273	C₂	semidirect
5. #13259	C₂	semidirect
6. #13077	C₂	semidirect
7. #13076	C₂	semidirect
8. #12828	C₂	semidirect
11. #3183	C₄	semidirect
12. #3177	C₄	semidirect
13. #3176	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60717	2
#33401	2
#20787	2
#13273	2
#13259	2
#13077	2
#13076	2
#12828	2