Subgroups — #496616

Order 512.

786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#13120	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#12783	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#12679	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
12	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
17	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1374	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#1374	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
24	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
25	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
26	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₁₆	C₂³	1	8	yes	—
37	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
40	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
41	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₄	C₈	1	4	yes	—
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#95	C₈	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#95	C₈	1	1	yes	characteristic
49	C₄⋊C₁₆	—	4	4	no	—
50	C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
51	C₂²⋊C₁₆	—	4	4	no	—
52	C₂²⋊C₁₆	—	4	4	no	—
53	C₄×C₁₆	—	4	4	no	—
54	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
60	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
61	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
63	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
82	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
83	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
84	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
85	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
86	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
87	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
88	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₁₆	1	8	yes	complemented
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
99	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
100	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
101	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
102	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
103	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
109	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
111	C₄×C₈	—	2	4	no	—
112	C₄×C₈	—	2	4	no	—
113	C₄×C₈	—	4	2	no	—
114	C₄×C₈	—	4	2	no	—
115	#95	C₂×C₈	1	4	yes	—
116	#95	C₂×C₈	1	4	yes	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	4	1	no	—
120	C₂⁴	—	4	1	no	—
121	C₂⁴	—	4	1	no	—
122	C₂⁴	—	4	1	no	—
123	C₂⁴	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
125	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	M₃₂	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂×C₈	—	2	1	no	—
169	C₂×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	8	no	—
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	4	4	no	—
179	C₂×C₈	—	4	8	no	—
180	C₂×C₈	—	4	4	no	—
181	C₂×C₈	—	4	4	no	—
182	C₂×C₈	—	4	8	no	—
183	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
185	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
187	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	16	yes	—
190	C₄²	—	2	2	no	—
191	C₄²	—	2	2	no	—
192	C₄²	—	2	2	no	—
193	C₄²	—	2	2	no	—
194	C₄²	—	4	2	no	—
195	C₄²	—	4	2	no	—
196	C₁₆	—	4	8	no	—
197	C₂³	—	2	1	no	—
198	C₂³	—	2	1	no	—
199	C₂³	—	2	1	no	—
200	C₂³	—	2	1	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	8	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	4	4	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	4	4	no	—
211	C₂³	—	4	4	no	—
212	C₂³	—	4	4	no	—
213	C₂³	—	4	4	no	—
214	C₂³	#431	1	2	yes	—
215	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
216	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
217	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	#431	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
257	C₈	—	2	2	no	—
258	C₈	—	2	4	no	—
259	C₈	—	4	2	no	—
260	C₈	—	4	2	no	—
261	C₈	#538	1	4	yes	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	4	no	—
271	C₂²	—	4	16	no	—
272	C₂²	—	4	2	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	#2162	1	4	yes	—
277	C₂²	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	#2312	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#2921	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#2973	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	—	4	4	no	—
296	C₂	#21902	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#2162	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#33419	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#33486	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#33486	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#33487	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#33489	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂⁵	C₂×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #13120	C₂	semidirect
3. #12783	C₂	semidirect
5. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
11. C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
15. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
20. #1374	C₂²	semidirect
21. #1374	C₂²	semidirect
96. C₂×C₂²⋊C₄	C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
#13120	2
#12783	2
#12679	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2