Subgroups — #496749

Order 512.

581 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20484	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#12976	C₂	1	2	yes	maximal
5	#12912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12895	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#12880	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12784	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#1374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#435	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2290	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	#1771	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1768	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#1753	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1752	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1750	C₄	1	1	yes	characteristic
32	#1749	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1374	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1374	C₂²	1	2	yes	—
38	#1374	C₂²	1	2	yes	—
39	#1374	C₂²	1	2	yes	—
40	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1374	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	#435	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	#405	—	4	2	no	—
66	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#388	C₈	1	2	yes	—
80	#387	C₈	1	2	yes	—
81	#386	C₈	1	2	yes	—
82	#385	C₈	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
88	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
91	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
92	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
93	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
115	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₄×D₄	—	2	2	no	—
126	C₄×D₄	—	2	2	no	—
127	#117	—	4	1	no	—
128	#117	—	4	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
164	#97	—	2	2	no	—
165	#97	—	4	1	no	—
166	#97	—	4	1	no	—
167	#97	—	4	1	no	—
168	#97	—	4	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	4	1	no	—
176	C₄×C₈	—	4	1	no	—
177	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
178	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
179	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
180	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
181	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	M₁₆	—	4	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	1	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	1	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	1	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₁₆	—	4	2	no	—
261	C₁₆	—	4	2	no	—
262	C₁₆	—	4	2	no	—
263	C₁₆	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	#431	1	2	yes	—
273	C₂³	#504	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
275	D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	#431	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#504	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
313	C₈	—	2	2	no	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	4	1	no	—
317	C₈	—	4	1	no	—
318	C₈	—	4	1	no	—
319	C₈	—	4	1	no	—
320	C₈	#538	1	2	yes	—
321	C₈	#539	1	2	yes	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	4	1	no	—
327	C₂²	—	4	1	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	#2164	1	4	yes	—
332	C₂²	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	4	1	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	4	1	no	—
345	C₄	#2318	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2923	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2973	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2989	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	8	1	no	—
351	C₂	#21996	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#2164	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#33420	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#33491	1	2	yes	—
355	C₂	#33508	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #13120	C₂	semidirect
3. #13104	C₂	semidirect
5. #12912	C₂	semidirect
6. #12895	C₂	semidirect
7. #12880	C₂	semidirect
8. #12845	C₂	semidirect
9. #12784	C₂	semidirect
10. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
11. C₂×#1374	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20484	2
#13120	2
#13104	2
#12976	2
#12912	2
#12895	2
#12880	2
#12845	2
#12784	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×#1374	2