Subgroups — #496807

Order 512.

634 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13198	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13129	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12987	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12915	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12684	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3573	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3407	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#3018	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2955	C₂²	1	2	yes	—
18	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2169	—	2	2	no	—
20	D₄×C₁₆	—	2	2	no	—
21	#2151	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#2117	—	2	2	no	—
24	#2117	C₂²	1	2	yes	—
25	#2117	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#350	—	2	2	no	—
27	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
28	#2115	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2115	C₂²	1	2	yes	—
30	#2113	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2113	C₂²	1	2	yes	—
32	#2113	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#2110	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#1884	C₄	1	1	yes	characteristic
36	#1881	C₄	1	2	yes	—
37	#1861	C₄	1	2	yes	—
38	#1858	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#1794	C₄	1	1	yes	characteristic
40	#1764	C₂²	1	2	yes	—
41	#1757	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1379	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#1378	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#1376	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#585	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	#575	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	#568	—	2	2	no	—
48	#568	—	4	2	no	—
49	#568	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	#568	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#131	—	2	2	no	—
52	C₂×#131	—	4	2	no	—
53	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#532	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	#504	—	4	2	no	—
58	#504	—	4	2	no	—
59	#504	—	4	2	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
61	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
62	C₂×M₃₂	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₁₆	D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#456	—	2	1	no	—
72	#455	—	2	1	no	—
73	#454	—	2	1	no	—
74	#453	—	2	1	no	—
75	#444	—	4	2	no	—
76	#443	—	4	2	no	—
77	#436	—	2	2	no	—
78	C₈×D₄	—	2	2	no	—
79	#430	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#423	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	#421	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#421	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#413	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	#410	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	#408	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#408	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#405	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
93	#350	—	2	2	no	—
94	#350	—	2	4	no	—
95	#350	—	2	2	no	—
96	#350	—	4	2	no	—
97	#349	—	2	2	no	—
98	#349	—	4	2	no	—
99	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
102	#347	—	4	2	no	—
103	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
104	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
105	#344	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
109	2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
110	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
111	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
112	H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	4	2	no	—
115	C₂×#41	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×#41	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	#137	—	2	2	no	—
119	#137	—	2	2	no	—
120	AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
121	AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
122	#135	—	4	2	no	—
123	#131	—	2	2	no	—
124	#131	—	2	2	no	—
125	#131	—	2	4	no	—
126	#131	—	2	2	no	—
127	#131	—	2	2	no	—
128	#131	—	2	2	no	—
129	#131	—	2	2	no	—
130	#131	—	2	2	no	—
131	#131	—	2	2	no	—
132	#131	—	4	2	no	—
133	#131	—	4	2	no	—
134	#131	—	4	2	no	—
135	#131	—	4	2	no	—
136	#131	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊Q₈	M₁₆	1	1	yes	characteristic
155	#127	M₁₆	1	1	yes	characteristic
156	#124	M₁₆	1	1	yes	characteristic
157	#124	M₁₆	1	1	yes	characteristic
158	#121	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	M₃₂	—	2	2	no	—
163	M₃₂	—	2	2	no	—
164	M₃₂	—	2	2	no	—
165	M₃₂	—	2	2	no	—
166	M₃₂	—	2	2	no	—
167	M₃₂	—	2	2	no	—
168	M₃₂	—	4	2	no	—
169	M₃₂	—	4	2	no	—
170	M₃₂	—	4	2	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
178	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
179	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
180	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	#108	—	4	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	#104	—	2	2	no	—
186	#104	—	2	2	no	—
187	#104	—	4	2	no	—
188	#104	—	4	2	no	—
189	#103	—	2	2	no	—
190	#102	—	2	2	no	—
191	#101	—	2	1	no	—
192	#100	—	2	1	no	—
193	#99	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
196	#97	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	—	2	1	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	#41	—	2	2	no	—
201	#41	—	2	2	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	2	no	—
204	#41	—	2	2	no	—
205	#41	—	2	2	no	—
206	#41	—	2	2	no	—
207	#41	—	2	2	no	—
208	#41	—	2	2	no	—
209	#41	—	4	4	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
217	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
218	C₂×Q₈	#131	1	2	yes	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
227	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
228	C₂×D₄	#131	1	2	yes	—
229	C₂×D₄	#131	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	Q₁₆	—	4	2	no	—
237	SD₁₆	—	4	2	no	—
238	SD₁₆	—	4	2	no	—
239	D₈	—	4	2	no	—
240	M₁₆	—	2	2	no	—
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	2	2	no	—
243	M₁₆	—	2	2	no	—
244	M₁₆	—	2	2	no	—
245	M₁₆	—	2	2	no	—
246	M₁₆	—	2	2	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	2	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
279	C₁₆	—	2	1	no	—
280	C₁₆	—	2	1	no	—
281	C₁₆	—	2	2	no	—
282	C₁₆	—	4	1	no	—
283	C₁₆	—	4	1	no	—
284	C₁₆	—	4	2	no	—
285	C₁₆	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	#435	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	2	2	no	—
292	Q₈	—	2	2	no	—
293	Q₈	—	2	2	no	—
294	Q₈	—	2	2	no	—
295	Q₈	—	4	2	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	2	2	no	—
298	D₄	—	2	2	no	—
299	D₄	—	2	2	no	—
300	D₄	—	2	2	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	4	2	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	2	no	—
305	D₄	—	4	2	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	4	2	no	—
328	C₈	—	4	1	no	—
329	C₈	—	4	1	no	—
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₈	#534	1	1	yes	characteristic
332	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
333	C₈	#538	1	2	yes	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	1	no	—
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2977	1	2	yes	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	1	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	1	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	#2321	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#2929	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2974	1	2	yes	—
353	C₂	—	2	1	no	—
354	C₂	—	2	2	no	—
355	C₂	—	4	2	no	—
356	C₂	—	8	1	no	—
357	C₂	—	8	2	no	—
358	C₂	#22030	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₈	#535
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂	#22030
prime radical	#3018	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₈ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33434	C₂	semidirect
2. #33340	C₂	semidirect
4. #13198	C₂	semidirect
5. #13129	C₂	semidirect
6. #13124	C₂	semidirect
7. #12987	C₂	semidirect
8. #12982	C₂	semidirect
9. #12915	C₂	semidirect
10. #12684	C₂	semidirect
11. #12617	C₂	semidirect
15. C₂×#504	C₂²	semidirect
21. #2151	C₂²	semidirect
22. #2150	C₂²	semidirect
25. #2117	C₂²	semidirect
32. #2113	C₂²	semidirect
33. #2110	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
42. #1379	C₂²	semidirect
43. #1378	C₂²	semidirect
44. #1376	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33434	2
#33340	2
#21477	2
#13198	2
#13129	2
#13124	2
#12987	2
#12982	2
#12915	2
#12684	2
#12617	2