Subgroups — #496934

Order 512.

676 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₈×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
17	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
18	#2162	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
34	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
35	#1923	C₄	1	2	yes	—
36	#1869	C₄	1	2	yes	—
37	#1797	C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	#1374	C₂²	1	2	yes	—
41	#1374	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₈×D₄	—	2	2	no	—
60	C₈×D₄	—	2	2	no	—
61	C₈×D₄	—	4	2	no	—
62	C₈×D₄	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
78	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
79	#388	C₈	1	2	yes	—
80	#386	C₈	1	2	yes	—
81	#380	C₈	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
85	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
86	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
93	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
94	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
95	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
96	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
97	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
98	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	#121	C₁₆	1	8	yes	complemented
129	C₄×D₄	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	4	2	no	—
132	C₄×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
166	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	1	no	—
177	C₄×C₈	—	2	1	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
183	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
184	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
185	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
186	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
193	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
212	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	1	no	—
238	C₂×C₈	—	4	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
260	C₄²	—	2	1	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	1	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
267	C₄²	#131	1	2	yes	—
268	C₁₆	—	2	2	no	—
269	C₁₆	—	2	2	no	—
270	C₁₆	—	4	1	no	—
271	C₁₆	—	4	2	no	—
272	C₁₆	—	4	1	no	—
273	C₁₆	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
289	D₄	—	2	8	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	4	1	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	—	4	1	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
337	C₈	#537	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#540	1	1	yes	characteristic
339	C₈	#542	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	1	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	1	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	1	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	D₄×C₁₆	1	4	yes	—
369	C₄	#2324	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2930	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2981	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2993	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	4	2	no	—
374	C₂	—	4	4	no	—
375	C₂	#22133	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×D₄×C₁₆	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#33433	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#33486	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#33495	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#33502	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#33507	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂×#121	C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
2. C₂×#2162	C₂	semidirect
4. #13189	C₂	semidirect
5. #13189	C₂	semidirect
6. #13159	C₂	semidirect
7. #13120	C₂	semidirect
8. #12976	C₂	semidirect
9. #12912	C₂	semidirect
10. #12783	C₂	semidirect
11. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
97. C₄×C₁₆	D₄	semidirect
128. #121	C₁₆	semidirect
193. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
211. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
254. C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect
259. C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×C₁₆	2
C₂×#2162	2
C₈×#121	2
#13189	2
#13159	2
#13120	2
#12976	2
#12912	2
#12783	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2