Subgroups — #496990

Order 512.

660 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₈×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#13121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13105	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12913	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#1374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2168	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
26	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1923	C₄	1	2	yes	—
29	#1869	C₄	1	2	yes	—
30	#1797	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	#1374	C₂²	1	2	yes	—
34	#1374	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	#1374	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
46	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
47	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
48	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
50	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
53	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	—	4	1	no	—
61	C₈×D₄	—	4	1	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
77	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
78	#388	C₈	1	2	yes	—
79	#386	C₈	1	2	yes	—
80	#380	C₈	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
84	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
85	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
86	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
90	#346	—	2	4	no	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#121	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	4	1	no	—
125	C₄×D₄	—	4	1	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
137	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	M₃₂	—	4	8	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
155	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
156	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	4	1	no	—
171	C₄×C₈	—	4	1	no	—
172	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
173	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
174	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	1	no	—
182	C₂×D₄	—	4	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂²×C₄	M₃₂	1	4	yes	complemented
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	4	1	no	—
256	C₄²	—	4	1	no	—
257	C₁₆	—	2	4	no	—
258	C₁₆	—	4	2	no	—
259	C₁₆	—	4	2	no	—
260	C₁₆	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
274	C₂³	#504	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	—	4	1	no	—
322	C₈	—	4	1	no	—
323	C₈	#534	1	1	yes	characteristic
324	C₈	#537	1	1	yes	characteristic
325	C₈	#538	1	1	yes	characteristic
326	C₈	#539	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	#2169	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	1	no	—
355	C₄	—	4	1	no	—
356	C₄	#2325	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2932	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2976	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2992	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	2	4	no	—
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	#22168	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#2169	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#33435	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#33487	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#33490	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#33503	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#33506	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂×#121	C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2168	C₂	semidirect
3. #13121	C₂	semidirect
4. #13105	C₂	semidirect
5. #12977	C₂	semidirect
6. #12976	C₂	semidirect
7. #12913	C₂	semidirect
8. #12783	C₂	semidirect
9. C₂×#1374	C₂	semidirect
53. C₂²×C₁₆	D₄	semidirect
198. C₂²×C₄	M₃₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2168	2
C₈×#121	2
#13121	2
#13105	2
#12977	2
#12976	2
#12913	2
#12783	2
C₂×#1374	2