Subgroups — #497129

Order 512.

716 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 292 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13015	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13014	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13012	C₂	1	2	yes	maximal
8	#12889	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12590	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#124	—	2	2	no	—
18	#2249	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1970	C₂²	1	2	yes	—
26	#1969	C₂²	1	2	yes	—
27	#1968	—	2	2	no	—
28	#1958	—	2	2	no	—
29	#1846	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1380	C₂²	1	2	yes	—
32	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1374	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#124	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×Q₃₂	—	4	2	no	—
43	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
44	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
45	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
46	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
47	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
48	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#495	—	2	4	no	—
53	#495	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
55	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
56	C₄×SD₁₆	—	4	8	no	—
57	C₄×D₈	—	4	2	no	—
58	C₄×D₈	—	4	2	no	—
59	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×#103	—	2	2	no	—
63	C₂×#103	—	2	2	no	—
64	C₂×#102	—	2	2	no	—
65	C₂×#102	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#391	—	2	2	no	—
71	#390	—	2	2	no	—
72	#388	—	4	2	no	—
73	#388	—	4	2	no	—
74	#382	—	2	2	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
77	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#358	—	4	2	no	—
79	#358	—	4	2	no	—
80	#357	—	4	2	no	—
81	#357	—	4	2	no	—
82	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
83	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
87	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
95	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
96	C₂×D₈	—	2	2	no	—
97	C₂×D₈	—	2	2	no	—
98	C₂×D₈	—	2	2	no	—
99	C₂×D₈	—	2	2	no	—
100	C₂×D₈	—	2	2	no	—
101	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	#124	—	2	8	no	—
106	#124	—	4	4	no	—
107	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
108	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	Q₃₂	—	4	4	no	—
126	SD₃₂	—	4	8	no	—
127	D₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	#107	—	2	2	no	—
136	#107	—	2	2	no	—
137	#107	—	2	2	no	—
138	#107	—	2	2	no	—
139	#106	—	4	4	no	—
140	#103	—	4	4	no	—
141	#103	—	4	4	no	—
142	#102	—	4	4	no	—
143	#102	—	4	4	no	—
144	C₄×C₈	—	2	4	no	—
145	C₄×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	—	2	2	no	—
148	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
150	#95	—	4	2	no	—
151	#95	—	4	2	no	—
152	#95	—	4	2	no	—
153	#95	—	4	2	no	—
154	C₂⁴	—	4	2	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	—	4	2	no	—
164	C₂×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂×D₄	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	Q₁₆	—	2	4	no	—
179	Q₁₆	—	2	4	no	—
180	Q₁₆	—	4	2	no	—
181	Q₁₆	—	4	2	no	—
182	SD₁₆	—	4	16	no	—
183	D₈	—	2	4	no	—
184	D₈	—	2	4	no	—
185	D₈	—	4	2	no	—
186	D₈	—	4	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
192	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
195	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
196	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
206	C₄²	—	2	2	no	—
207	C₄²	—	2	2	no	—
208	C₄²	—	2	4	no	—
209	C₄²	—	4	1	no	—
210	C₄²	—	4	1	no	—
211	C₄²	—	8	4	no	—
212	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₄²	#135	1	2	yes	—
214	C₁₆	—	2	2	no	—
215	C₁₆	—	2	2	no	—
216	C₁₆	—	4	2	no	—
217	C₂³	—	4	4	no	—
218	C₂³	—	8	2	no	—
219	C₂³	—	8	2	no	—
220	C₂³	—	8	2	no	—
221	C₂³	—	8	2	no	—
222	C₂³	—	8	2	no	—
223	C₂³	—	8	2	no	—
224	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
225	Q₈	—	4	4	no	—
226	Q₈	—	4	4	no	—
227	Q₈	—	8	2	no	—
228	Q₈	—	8	2	no	—
229	D₄	—	4	4	no	—
230	D₄	—	4	4	no	—
231	D₄	—	8	2	no	—
232	D₄	—	8	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂×C₄	—	8	2	no	—
250	C₂×C₄	—	16	8	no	—
251	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	#508	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
258	C₈	—	4	2	no	—
259	C₈	#442	1	4	yes	—
260	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
261	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
262	C₈	#540	1	2	yes	—
263	C₂²	—	8	4	no	—
264	C₂²	—	8	4	no	—
265	C₂²	—	8	4	no	—
266	C₂²	—	16	2	no	—
267	C₂²	—	16	2	no	—
268	C₂²	—	16	2	no	—
269	C₂²	—	16	2	no	—
270	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	#3205	1	2	yes	—
272	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
273	C₂²	#3414	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	#3414	1	1	yes	characteristic
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	2	2	no	—
277	C₄	—	2	4	no	—
278	C₄	—	4	2	no	—
279	C₄	—	8	4	no	—
280	C₄	—	16	2	no	—
281	C₄	—	16	2	no	—
282	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
283	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
284	C₄	#3207	1	2	yes	—
285	C₂	—	16	4	no	—
286	C₂	#22269	1	1	yes	characteristic
287	C₂	C₄×#508	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#33451	1	1	yes	characteristic
289	C₂	#33777	1	2	yes	—
290	C₂	#33778	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₁₆	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#495	C₂	semidirect
3. #13204	C₂	semidirect
4. #13015	C₂	semidirect
5. #13014	C₂	semidirect
6. #13013	C₂	semidirect
8. #12889	C₂	semidirect
9. #12590	C₂	semidirect
18. #2249	C₄	semidirect
43. C₂×Q₃₂	C₂×C₄	semidirect
46. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
53. #495	C₂×C₄	semidirect
83. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2249	2
C₄×#495	2
#13204	2
#13015	2
#13014	2
#13013	2
#13012	2
#12889	2
#12590	2