Subgroups — #497136

Order 512.

734 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2250	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21697	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13014	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12890	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#495	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#442	—	2	1	no	—
17	C₂×#440	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#2328	—	2	1	no	—
22	#2326	—	2	1	no	—
23	#2250	C₄	1	8	yes	complemented
24	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1973	—	2	1	no	—
31	#1972	—	2	1	no	—
32	#1970	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1970	C₂²	1	2	yes	—
34	#1969	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1961	—	2	1	no	—
36	#1959	—	2	1	no	—
37	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	2	yes	—
43	#1374	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#127	—	2	1	no	—
50	C₂×#124	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
55	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
56	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
58	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
59	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	#495	—	2	2	no	—
63	#495	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	#493	—	2	2	no	—
65	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
66	#442	—	4	4	no	—
67	#440	—	4	4	no	—
68	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
69	C₄×D₈	—	4	2	no	—
70	C₄×D₈	—	4	2	no	—
71	C₄×D₈	—	4	2	no	—
72	C₂×#107	—	2	1	no	—
73	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#106	—	2	1	no	—
77	C₂×#103	—	2	1	no	—
78	C₂×#103	—	2	1	no	—
79	C₂×#102	—	2	1	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	1	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#391	—	2	1	no	—
90	#390	—	2	1	no	—
91	#390	—	2	2	no	—
92	#388	—	4	2	no	—
93	#386	—	4	2	no	—
94	#386	—	4	2	no	—
95	#385	—	4	2	no	—
96	#384	—	2	1	no	—
97	#382	—	2	1	no	—
98	#376	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#358	—	4	2	no	—
100	#357	—	4	2	no	—
101	#357	—	4	2	no	—
102	#357	—	4	2	no	—
103	#346	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
104	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	4	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	1	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	—	2	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₈	—	4	2	no	—
128	C₂×D₈	—	4	2	no	—
129	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	#127	—	2	4	no	—
136	#127	—	4	2	no	—
137	#124	—	2	4	no	—
138	#124	—	4	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
141	C₄×D₄	—	4	4	no	—
142	C₄×D₄	—	4	2	no	—
143	C₄×D₄	—	4	2	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	SD₃₂	—	4	8	no	—
161	D₁₆	—	4	8	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
167	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	#107	—	2	2	no	—
169	#107	—	2	2	no	—
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	2	2	no	—
172	#107	—	4	2	no	—
173	#106	—	4	2	no	—
174	#103	—	4	2	no	—
175	#103	—	4	2	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#102	—	4	2	no	—
178	#102	—	4	2	no	—
179	#102	—	4	4	no	—
180	#97	—	2	2	no	—
181	#97	—	2	2	no	—
182	#97	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
187	#95	—	4	2	no	—
188	#95	—	4	2	no	—
189	#95	D₈	1	2	yes	—
190	#95	D₈	1	2	yes	—
191	C₂⁴	—	4	1	no	—
192	C₂⁴	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	1	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	1	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	1	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	1	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	1	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂×D₄	—	16	2	no	—
213	C₂×D₄	—	16	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	Q₁₆	—	2	4	no	—
229	Q₁₆	—	4	2	no	—
230	SD₁₆	—	4	8	no	—
231	D₈	—	2	4	no	—
232	D₈	—	2	4	no	—
233	D₈	—	2	4	no	—
234	D₈	—	4	2	no	—
235	D₈	—	4	2	no	—
236	D₈	—	4	2	no	—
237	D₈	—	4	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
251	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	2	1	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	8	2	no	—
270	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
271	C₄²	#135	1	2	yes	—
272	C₁₆	—	2	4	no	—
273	C₁₆	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	1	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	1	no	—
286	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	2	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	Q₈	—	8	1	no	—
290	Q₈	—	8	1	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	8	1	no	—
296	D₄	—	8	2	no	—
297	D₄	—	8	1	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	16	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	1	no	—
311	C₂×C₄	—	8	1	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	16	4	no	—
320	C₂×C₄	—	16	8	no	—
321	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	4	1	no	—
329	C₈	—	4	1	no	—
330	C₈	#442	1	4	yes	—
331	C₈	#518	1	2	yes	—
332	C₈	#540	1	2	yes	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	16	1	no	—
339	C₂²	—	16	2	no	—
340	C₂²	—	16	2	no	—
341	C₂²	—	16	1	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3415	1	2	yes	—
349	C₂²	#3416	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	4	1	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	16	1	no	—
356	C₄	—	16	1	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	16	4	no	—
363	C₂	—	16	2	no	—
364	C₂	#22269	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#33454	1	2	yes	—
366	C₂	#33786	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#33787	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#33790	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2250	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ #1726 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21697	C₂	semidirect
3. #21696	C₂	semidirect
4. #13204	C₂	semidirect
5. #13202	C₂	semidirect
6. #13014	C₂	semidirect
7. #13013	C₂	semidirect
8. #13012	C₂	semidirect
9. #13012	C₂	semidirect
10. #12890	C₂	semidirect
11. #12592	C₂	semidirect
23. #2250	C₄	semidirect
56. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
59. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
63. #495	C₂×C₄	semidirect
65. #493	C₂×C₄	semidirect
103. #346	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2250	2
#21697	2
#21696	2
#13204	2
#13202	2
#13014	2
#13013	2
#13012	2
#12890	2
#12592	2