Subgroups — #497147

Order 512.

675 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33719	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13040	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13039	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13038	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13037	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12887	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#510	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
14	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#495	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#444	—	2	1	no	—
17	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#442	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#441	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#440	—	2	1	no	—
21	#2931	—	2	1	no	—
22	C₄×#124	—	2	1	no	—
23	#2251	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2250	C₄	1	2	yes	complemented
25	#2249	C₄	1	4	yes	complemented
26	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1975	—	2	1	no	—
33	#1975	C₂²	1	2	yes	—
34	#1973	—	2	1	no	—
35	#1972	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1971	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1962	—	2	1	no	—
38	#1958	—	2	1	no	—
39	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1383	C₂²	1	2	yes	—
43	#1383	C₂²	1	2	yes	—
44	#1375	C₂²	1	2	yes	—
45	#1375	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#135	—	2	1	no	—
47	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#131	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	1	no	—
53	C₂×#124	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
56	#510	—	4	2	no	—
57	#510	—	4	2	no	—
58	#509	—	4	2	no	—
59	#509	—	4	2	no	—
60	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
66	#495	—	2	1	no	—
67	#495	—	2	1	no	—
68	#495	—	2	1	no	—
69	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#495	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
72	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
73	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
74	#492	—	2	1	no	—
75	#444	—	4	2	no	—
76	#444	—	4	2	no	—
77	#444	—	4	4	no	—
78	#442	—	4	2	no	—
79	#441	—	4	2	no	—
80	#440	—	4	4	no	—
81	#436	—	4	2	no	—
82	C₈×D₄	—	4	2	no	—
83	C₂×#108	—	2	1	no	—
84	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#107	—	2	1	no	—
86	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#423	—	2	1	no	—
89	C₂×#104	—	2	2	no	—
90	C₂×#104	—	2	2	no	—
91	C₂×#103	—	2	1	no	—
92	C₂×#103	—	2	1	no	—
93	C₂×#102	—	2	1	no	—
94	C₂×#102	—	2	1	no	—
95	#408	—	2	2	no	—
96	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#391	—	2	1	no	—
103	#390	—	2	1	no	—
104	#388	—	4	2	no	—
105	#382	—	2	1	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
107	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#362	—	4	2	no	—
109	#361	—	4	2	no	—
110	#360	—	4	2	no	—
111	#360	—	4	2	no	—
112	#346	—	2	1	no	—
113	#346	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
114	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
115	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
120	#135	—	2	2	no	—
121	#135	—	2	2	no	—
122	#135	—	2	2	no	—
123	#135	—	2	2	no	—
124	#135	—	4	2	no	—
125	#135	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	2	1	no	—
139	C₂×D₈	—	2	1	no	—
140	C₂×D₈	—	2	2	no	—
141	C₂×D₈	—	2	2	no	—
142	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	#131	—	4	4	no	—
145	#131	—	4	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
154	#127	—	2	1	no	—
155	#124	—	2	2	no	—
156	#124	—	2	2	no	—
157	#124	—	2	2	no	—
158	#124	—	4	2	no	—
159	#121	—	4	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
162	C₄×D₄	—	4	2	no	—
163	C₄×D₄	—	4	2	no	—
164	C₄×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	Q₃₂	—	4	4	no	—
177	SD₃₂	—	4	4	no	—
178	SD₃₂	—	4	4	no	—
179	D₁₆	—	4	4	no	—
180	M₃₂	—	2	2	no	—
181	M₃₂	—	2	2	no	—
182	M₃₂	—	2	2	no	—
183	M₃₂	—	2	2	no	—
184	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
185	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	#108	—	2	2	no	—
187	#108	—	2	2	no	—
188	#108	—	4	2	no	—
189	#107	—	4	2	no	—
190	#106	—	2	2	no	—
191	#106	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
193	#104	—	4	4	no	—
194	#104	—	4	4	no	—
195	#103	—	4	2	no	—
196	#103	—	4	2	no	—
197	#102	—	4	2	no	—
198	#102	—	4	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
200	#97	—	2	2	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	D₈	1	4	yes	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
209	#95	—	4	2	no	—
210	#95	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	1	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	1	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	1	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	Q₁₆	—	2	2	no	—
243	Q₁₆	—	2	4	no	—
244	Q₁₆	—	2	2	no	—
245	Q₁₆	—	4	2	no	—
246	Q₁₆	—	4	2	no	—
247	SD₁₆	—	4	2	no	—
248	SD₁₆	—	4	2	no	—
249	SD₁₆	—	4	4	no	—
250	SD₁₆	—	4	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	D₈	—	2	2	no	—
253	D₈	—	2	4	no	—
254	D₈	—	2	2	no	—
255	D₈	—	4	2	no	—
256	D₈	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	8	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	8	4	no	—
267	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
287	C₄²	—	2	1	no	—
288	C₄²	—	2	1	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	8	2	no	—
291	C₄²	—	8	2	no	—
292	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
295	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
296	C₁₆	—	2	4	no	—
297	C₁₆	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	—	8	1	no	—
304	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	Q₈	—	4	2	no	—
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	8	1	no	—
310	Q₈	—	8	1	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	1	no	—
319	D₄	—	8	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	8	1	no	—
328	C₂×C₄	—	8	1	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	1	no	—
334	C₂×C₄	—	8	1	no	—
335	C₂×C₄	—	16	4	no	—
336	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#442	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	4	1	no	—
346	C₈	—	8	2	no	—
347	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
348	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
349	C₈	#518	1	2	yes	—
350	C₈	#540	1	2	yes	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	4	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	—	8	2	no	—
356	C₂²	—	16	1	no	—
357	C₂²	—	16	1	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#3207	1	1	yes	characteristic
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	8	1	no	—
366	C₄	—	8	2	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	16	1	no	—
369	C₄	—	16	1	no	—
370	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#3205	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	16	2	no	—
377	C₂	—	16	2	no	—
378	C₂	#22269	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#33468	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#442
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33719	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21706	C₂	semidirect
3. #21693	C₂	semidirect
4. #13214	C₂	semidirect
5. #13211	C₂	semidirect
6. #13040	C₂	semidirect
7. #13039	C₂	semidirect
8. #13038	C₂	semidirect
9. #13037	C₂	semidirect
10. #12887	C₂	semidirect
11. #12594	C₂	semidirect
23. #2251	C₄	semidirect
24. #2250	C₄	semidirect
25. #2249	C₄	semidirect
60. C₂×Q₃₂	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
71. #495	C₂×C₄	semidirect
72. #494	C₂×C₄	semidirect
73. #493	C₂×C₄	semidirect
113. #346	C₂×C₄	semidirect
115. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33719	2
#21706	2
#21693	2
#13214	2
#13211	2
#13040	2
#13039	2
#13038	2
#13037	2
#12887	2
#12594	2