Subgroups — #497151

Order 512.

550 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₈×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#13263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13159	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12912	C₂	1	2	yes	maximal
7	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#1374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	#1984	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
24	#1916	C₄	1	2	yes	—
25	#1850	C₄	1	2	yes	—
26	#1797	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	#1374	C₂²	1	2	yes	—
31	#1374	C₂²	1	2	yes	—
32	#1374	C₂²	1	2	yes	—
33	#1374	C₂²	1	2	yes	—
34	#1374	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
44	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
45	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
46	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
47	C₂²×C₁₆	Q₈	1	4	yes	complemented
48	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₈×Q₈	—	4	1	no	—
53	C₈×Q₈	—	4	1	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	#391	C₈	1	1	yes	characteristic
68	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
69	#387	C₈	1	2	yes	—
70	#385	C₈	1	2	yes	—
71	#380	C₈	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
76	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
77	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
78	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
79	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
80	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
81	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
82	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²⋊Q₈	C₁₆	1	8	yes	complemented
107	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
108	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
118	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
119	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
140	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
141	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
142	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄×C₈	—	2	1	no	—
147	C₄×C₈	—	2	1	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	1	no	—
150	C₄×C₈	—	2	1	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	4	1	no	—
153	C₄×C₈	—	4	1	no	—
154	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
155	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
156	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
157	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
158	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
159	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
162	C₂×Q₈	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
172	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂×C₈	—	2	1	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	1	no	—
192	C₂×C₈	—	2	1	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	4	4	no	—
204	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
215	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
216	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	—
219	C₄²	—	2	1	no	—
220	C₄²	—	2	1	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	1	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	1	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	4	1	no	—
228	C₄²	—	4	1	no	—
229	C₁₆	—	2	4	no	—
230	C₁₆	—	4	2	no	—
231	C₁₆	—	4	2	no	—
232	C₁₆	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	2	1	no	—
234	C₂³	—	2	1	no	—
235	C₂³	—	2	1	no	—
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	C₈×Q₈	1	2	yes	—
238	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
239	C₂³	#504	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
241	Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
281	C₈	—	2	2	no	—
282	C₈	—	4	2	no	—
283	C₈	—	4	1	no	—
284	C₈	—	4	1	no	—
285	C₈	—	4	2	no	—
286	C₈	#538	1	1	yes	characteristic
287	C₈	#539	1	1	yes	characteristic
288	C₈	#543	1	1	yes	characteristic
289	C₈	#544	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	Q₈×C₁₆	1	4	yes	—
297	C₂²	C₂×C₈×Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	2	4	no	—
308	C₄	—	2	4	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	1	no	—
311	C₄	—	4	1	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	#2329	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2961	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#2976	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#2992	1	1	yes	characteristic
317	C₂	—	2	4	no	—
318	C₂	#22287	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×Q₈×C₁₆	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#33475	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#33486	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#33490	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#33502	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#33506	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #13263	C₂	semidirect
3. #13159	C₂	semidirect
4. #13104	C₂	semidirect
5. #13104	C₂	semidirect
47. C₂²×C₁₆	Q₈	semidirect
106. C₂²⋊Q₈	C₁₆	semidirect
162. C₂×Q₈	C₂×C₁₆	semidirect
215. C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect
216. C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₈×C₂²⋊Q₈	2
#13263	2
#13159	2
#13104	2
#12912	2
#12783	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2
C₂×#1374	2