Subgroups — #497382

Order 512.

1152 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2138	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#22658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13252	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#550	—	2	1	no	—
14	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	#3287	—	2	4	no	—
16	#3287	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#460	—	2	1	no	—
20	C₂×#449	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
24	#2354	—	2	1	no	—
25	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2138	—	2	8	no	—
28	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1948	—	2	1	no	—
38	#1854	—	2	2	no	—
39	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1808	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1380	C₂²	1	2	yes	—
44	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#135	—	2	4	no	—
47	C₂×#135	—	2	4	no	—
48	C₂×#135	—	2	4	no	—
49	C₂×#135	—	4	2	no	—
50	C₂×#135	—	4	2	no	—
51	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	#550	—	2	8	no	—
58	#550	—	4	4	no	—
59	C₂×#127	—	2	1	no	—
60	C₂×#127	—	4	1	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
65	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#117	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#493	—	2	2	no	—
74	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#466	—	2	4	no	—
76	#466	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#460	—	2	8	no	—
78	#449	—	2	16	no	—
79	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
83	#427	—	2	4	no	—
84	#427	—	4	2	no	—
85	C₂×#107	—	2	1	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#106	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#103	—	2	1	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#390	—	4	1	no	—
97	#388	—	4	2	no	—
98	#384	—	2	1	no	—
99	#380	—	2	2	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
102	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
103	#358	—	2	4	no	—
104	#358	—	2	2	no	—
105	#358	D₄	1	4	yes	complemented
106	#357	—	2	4	no	—
107	#357	—	2	4	no	—
108	#357	—	4	2	no	—
109	#357	—	4	2	no	—
110	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
111	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
112	#340	—	2	2	no	—
113	#340	—	2	1	no	—
114	C₂×#41	—	2	8	no	—
115	C₂×#41	—	4	4	no	—
116	C₂×#41	—	4	4	no	—
117	C₂×#41	—	4	4	no	—
118	C₂×#41	—	8	2	no	—
119	C₂×#41	—	8	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
126	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	#135	—	2	16	no	—
130	#135	—	4	8	no	—
131	#135	—	4	8	no	—
132	#135	—	4	8	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×Q₁₆	#41	1	2	yes	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×D₈	—	2	4	no	—
143	C₂×D₈	—	2	2	no	—
144	C₂×D₈	—	2	2	no	—
145	C₂×D₈	—	2	2	no	—
146	C₂×D₈	—	2	2	no	—
147	C₂×D₈	—	2	2	no	—
148	C₂×D₈	—	8	1	no	—
149	C₂×D₈	—	8	1	no	—
150	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	—	4	8	no	—
162	#127	—	4	2	no	—
163	#121	—	2	8	no	—
164	#121	—	4	4	no	—
165	#121	—	4	16	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	4	8	no	—
169	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₄×D₄	SD₁₆	1	4	yes	—
171	#117	—	4	4	no	—
172	#117	—	8	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
190	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
191	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
192	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
193	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
194	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
197	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
198	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	#107	—	2	1	no	—
200	#107	—	2	1	no	—
201	#107	—	2	2	no	—
202	#107	—	2	1	no	—
203	#107	—	2	1	no	—
204	#107	—	2	2	no	—
205	#107	—	8	1	no	—
206	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
207	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	#106	—	4	4	no	—
209	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
210	#103	—	2	4	no	—
211	#102	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	#95	—	4	1	no	—
216	#95	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
219	#41	—	4	16	no	—
220	#41	—	8	8	no	—
221	#41	—	8	8	no	—
222	#41	—	8	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	8	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	8	4	no	—
242	C₂×D₄	—	8	4	no	—
243	C₂×D₄	—	8	2	no	—
244	C₂×D₄	—	8	2	no	—
245	C₂×D₄	—	16	1	no	—
246	C₂×D₄	—	16	1	no	—
247	C₂×D₄	—	16	2	no	—
248	C₂×D₄	—	16	2	no	—
249	C₂×D₄	#102	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	—	2	2	no	—
269	Q₁₆	—	2	2	no	—
270	Q₁₆	—	2	2	no	—
271	Q₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
272	SD₁₆	—	4	16	no	—
273	D₈	—	2	4	no	—
274	D₈	—	2	4	no	—
275	D₈	—	4	2	no	—
276	D₈	—	4	2	no	—
277	D₈	—	8	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	2	1	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	16	1	no	—
305	C₄⋊C₄	#102	1	4	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	#102	1	8	yes	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	8	4	no	—
312	C₄²	—	8	2	no	—
313	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
315	C₁₆	—	2	2	no	—
316	C₁₆	—	4	2	no	—
317	C₁₆	—	4	1	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	2	no	—
330	C₂³	—	8	2	no	—
331	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
332	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	2	4	no	—
334	Q₈	—	4	2	no	—
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	D₄	—	2	8	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	8	16	no	—
341	D₄	—	8	8	no	—
342	D₄	—	8	2	no	—
343	D₄	—	8	2	no	—
344	D₄	—	16	4	no	—
345	D₄	—	16	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	16	no	—
360	C₂×C₄	—	8	1	no	—
361	C₂×C₄	—	8	1	no	—
362	C₂×C₄	—	8	1	no	—
363	C₂×C₄	—	8	1	no	—
364	C₂×C₄	—	8	1	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	1	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	1	no	—
370	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
381	C₈	—	2	4	no	—
382	C₈	—	2	2	no	—
383	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
385	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
386	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	16	2	no	—
398	C₂²	—	16	2	no	—
399	C₂²	—	16	2	no	—
400	C₂²	—	16	2	no	—
401	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#3294	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#3416	1	1	yes	characteristic
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	4	4	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	16	2	no	—
414	C₄	—	16	1	no	—
415	C₄	#2138	1	4	yes	complemented
416	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2897	1	1	yes	characteristic
418	C₄	D₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3295	1	1	yes	characteristic
420	C₂	—	4	4	no	—
421	C₂	—	16	4	no	—
422	C₂	D₄×#102	1	1	yes	characteristic
423	C₂	C₂×#2138	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#33381	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#33850	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#33853	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#33871	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#33872	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3287	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
3. C₂×#2138	C₂	semidirect
4. #22658	C₂	semidirect
5. #13252	C₂	semidirect
6. #13202	C₂	semidirect
7. #13059	C₂	semidirect
8. #12992	C₂	semidirect
9. #12812	C₂	semidirect
10. #12733	C₂	semidirect
11. C₄×#358	C₂	semidirect
16. #3287	C₄	semidirect
105. #358	D₄	semidirect
415. C₄	#2138	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3287	2
C₂×D₄×C₁₆	2
C₂×#2138	2
#22658	2
#13252	2
#13202	2
#13059	2
#12992	2
#12812	2
#12733	2
C₄×#358	2