Subgroups — #497455

Order 512.

945 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 431 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33465	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#22460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13246	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13036	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13035	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12613	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#578	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#576	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3416	—	2	4	no	—
15	#3416	—	2	4	no	—
16	C₂×#510	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#510	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#509	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×#509	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#508	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×SD₃₂	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2957	C₂²	1	2	yes	—
26	#2957	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#2889	—	2	1	no	—
28	#2888	—	2	1	no	—
29	#2179	—	2	4	no	—
30	#2178	—	2	4	no	—
31	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
34	#2143	C₂²	1	2	yes	—
35	#2143	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#2115	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2108	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1979	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1978	C₂²	1	2	yes	—
40	#1903	—	2	2	no	—
41	#1902	—	2	2	no	—
42	#1813	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1813	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1796	—	2	1	no	—
45	#1795	—	2	1	no	—
46	#1757	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1385	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#1378	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
50	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
51	#578	—	2	4	no	—
52	#578	—	4	2	no	—
53	#576	—	2	4	no	—
54	#576	—	4	2	no	—
55	C₂×#137	—	2	1	no	—
56	C₂×#137	—	2	2	no	—
57	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	1	no	—
58	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
59	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#568	—	2	2	no	—
68	#568	—	2	2	no	—
69	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#510	—	2	4	no	—
71	#510	—	2	8	no	—
72	#509	—	2	4	no	—
73	#509	—	2	8	no	—
74	#508	—	2	4	no	—
75	#508	—	2	4	no	—
76	#508	D₄	1	4	yes	—
77	#508	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
81	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
82	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
83	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
84	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	#504	—	2	2	no	—
93	#504	—	2	2	no	—
94	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#444	—	4	2	no	—
100	#444	—	4	2	no	—
101	#443	—	2	4	no	—
102	#443	—	2	4	no	—
103	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
105	#421	—	2	2	no	—
106	#421	—	2	2	no	—
107	#419	—	2	2	no	—
108	#418	—	2	2	no	—
109	#413	—	2	1	no	—
110	#413	—	2	1	no	—
111	#413	—	4	2	no	—
112	#413	—	4	2	no	—
113	#413	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×#101	—	2	2	no	—
115	C₂×#101	—	4	2	no	—
116	C₂×#100	—	2	2	no	—
117	C₂×#100	—	4	2	no	—
118	#410	D₄	1	1	yes	characteristic
119	#405	C₂³	1	2	yes	—
120	#368	—	2	2	no	—
121	#368	—	2	2	no	—
122	#362	—	4	2	no	—
123	#361	—	4	2	no	—
124	#359	—	2	4	no	—
125	#359	—	2	4	no	—
126	#349	—	2	2	no	—
127	#346	—	2	2	no	—
128	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
129	#344	D₄	1	2	yes	—
130	#338	—	2	1	no	—
131	#338	—	2	1	no	—
132	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
133	2₋¹⁺⁴	—	8	2	no	—
134	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
135	H(5,𝔽₂)	—	8	2	no	—
136	C₂×#41	—	2	2	no	—
137	C₂×#41	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	2	1	no	—
139	C₂×#41	—	2	1	no	—
140	C₂×#41	—	4	1	no	—
141	C₂×#41	—	4	1	no	—
142	C₂×#41	—	4	2	no	—
143	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
150	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
151	#137	—	4	8	no	—
152	#137	—	4	4	no	—
153	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
154	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
155	#135	—	2	4	no	—
156	#135	—	2	4	no	—
157	#135	—	2	2	no	—
158	#135	—	2	2	no	—
159	#135	—	4	2	no	—
160	#135	—	4	2	no	—
161	#135	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	#135	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
169	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
174	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
175	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
176	C₂×D₈	—	2	4	no	—
177	C₂×D₈	—	2	2	no	—
178	C₂×D₈	—	2	2	no	—
179	C₂×D₈	—	2	1	no	—
180	C₂×D₈	—	2	2	no	—
181	C₂×D₈	—	4	2	no	—
182	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	#131	—	2	2	no	—
186	#131	—	2	2	no	—
187	#131	—	4	4	no	—
188	#131	—	4	4	no	—
189	#131	—	8	2	no	—
190	#131	—	8	2	no	—
191	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
192	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
193	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
194	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
195	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
198	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	Q₃₂	—	2	4	no	—
202	Q₃₂	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	SD₃₂	—	2	4	no	—
204	SD₃₂	—	2	4	no	—
205	SD₃₂	—	2	2	no	—
206	SD₃₂	—	2	2	no	—
207	SD₃₂	—	2	4	no	—
208	SD₃₂	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	SD₃₂	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	SD₃₂	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	SD₃₂	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	D₁₆	—	2	4	no	—
213	D₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	M₃₂	—	2	2	no	—
215	M₃₂	—	2	4	no	—
216	M₃₂	—	2	2	no	—
217	M₃₂	—	2	2	no	—
218	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
219	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
220	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
221	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	#108	—	2	2	no	—
227	#108	—	2	2	no	—
228	#108	—	2	2	no	—
229	#108	—	2	2	no	—
230	#104	—	4	4	no	—
231	#104	—	4	4	no	—
232	#103	—	8	2	no	—
233	#102	—	8	2	no	—
234	#101	—	4	1	no	—
235	#101	—	4	1	no	—
236	#101	—	4	4	no	—
237	#101	D₈	1	2	yes	—
238	#100	—	4	1	no	—
239	#100	—	4	1	no	—
240	#100	—	4	4	no	—
241	#100	D₈	1	2	yes	—
242	#99	—	2	2	no	—
243	#97	—	2	2	no	—
244	C₄×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂⁴	—	4	1	no	—
246	C₂⁴	—	4	2	no	—
247	#41	—	2	2	no	—
248	#41	—	2	2	no	—
249	#41	—	2	4	no	—
250	#41	—	2	4	no	—
251	#41	—	4	4	no	—
252	#41	—	4	4	no	—
253	#41	—	4	2	no	—
254	#41	—	4	2	no	—
255	#41	—	8	2	no	—
256	#41	—	8	2	no	—
257	#41	—	8	4	no	—
258	#41	—	8	4	no	—
259	#41	—	8	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
270	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂×D₄	—	2	1	no	—
272	C₂×D₄	—	2	1	no	—
273	C₂×D₄	—	2	2	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	1	no	—
276	C₂×D₄	—	4	1	no	—
277	C₂×D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	4	2	no	—
280	C₂×D₄	—	4	1	no	—
281	C₂×D₄	—	4	2	no	—
282	C₂×D₄	—	4	2	no	—
283	C₂×D₄	—	8	2	no	—
284	C₂×D₄	—	8	4	no	—
285	C₂×D₄	—	8	8	no	—
286	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂×D₄	#135	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	Q₁₆	—	2	2	no	—
297	Q₁₆	—	2	1	no	—
298	Q₁₆	—	2	1	no	—
299	Q₁₆	—	2	2	no	—
300	Q₁₆	—	4	4	no	—
301	Q₁₆	—	4	2	no	—
302	Q₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	Q₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
304	SD₁₆	—	2	4	no	—
305	SD₁₆	—	2	4	no	—
306	SD₁₆	—	4	4	no	—
307	SD₁₆	—	4	4	no	—
308	D₈	—	2	2	no	—
309	D₈	—	2	1	no	—
310	D₈	—	2	1	no	—
311	D₈	—	2	2	no	—
312	D₈	—	4	4	no	—
313	D₈	—	4	2	no	—
314	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
315	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	M₁₆	—	2	2	no	—
317	M₁₆	—	2	2	no	—
318	M₁₆	—	2	4	no	—
319	M₁₆	—	4	2	no	—
320	M₁₆	—	4	2	no	—
321	M₁₆	—	4	2	no	—
322	M₁₆	—	4	2	no	—
323	M₁₆	—	8	4	no	—
324	M₁₆	—	8	4	no	—
325	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
326	C₂×C₈	—	2	2	no	—
327	C₂×C₈	—	2	2	no	—
328	C₂×C₈	—	2	2	no	—
329	C₂×C₈	—	4	2	no	—
330	C₂×C₈	—	4	2	no	—
331	C₂×C₈	—	8	4	no	—
332	C₂×C₈	—	8	4	no	—
333	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
338	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
340	C₄²	—	2	2	no	—
341	C₁₆	—	2	2	no	—
342	C₁₆	—	4	2	no	—
343	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
346	C₂³	—	4	1	no	—
347	C₂³	—	4	1	no	—
348	C₂³	—	4	2	no	—
349	C₂³	—	8	4	no	—
350	C₂³	—	8	2	no	—
351	C₂³	—	32	1	no	—
352	C₂³	—	32	2	no	—
353	C₂³	C₄×D₈	1	2	yes	—
354	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
355	Q₈	—	2	2	no	—
356	Q₈	—	2	2	no	—
357	Q₈	—	2	2	no	—
358	Q₈	—	4	1	no	—
359	Q₈	—	4	1	no	—
360	Q₈	—	4	2	no	—
361	Q₈	—	4	2	no	—
362	Q₈	—	8	4	no	—
363	Q₈	—	8	2	no	—
364	D₄	—	2	4	no	—
365	D₄	—	2	2	no	—
366	D₄	—	2	2	no	—
367	D₄	—	2	2	no	—
368	D₄	—	4	4	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	4	2	no	—
371	D₄	—	4	1	no	—
372	D₄	—	4	1	no	—
373	D₄	—	4	2	no	—
374	D₄	—	8	4	no	—
375	D₄	—	8	4	no	—
376	D₄	—	8	4	no	—
377	D₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	1	no	—
381	C₂×C₄	—	4	1	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	4	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	2	no	—
390	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
395	C₈	—	2	2	no	—
396	C₈	—	2	4	no	—
397	C₈	—	8	2	no	—
398	C₈	—	8	2	no	—
399	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
400	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
401	C₈	#546	1	2	yes	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	4	1	no	—
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	16	1	no	—
409	C₂²	—	16	1	no	—
410	C₂²	—	16	2	no	—
411	C₂²	—	32	2	no	—
412	C₂²	—	32	4	no	—
413	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3280	1	2	yes	—
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	4	2	no	—
418	C₄	—	8	2	no	—
419	C₄	—	8	2	no	—
420	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
422	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
423	C₂	—	2	2	no	—
424	C₂	—	2	1	no	—
425	C₂	—	4	2	no	—
426	C₂	—	8	2	no	—
427	C₂	—	8	2	no	—
428	C₂	—	16	2	no	—
429	C₂	C₂²⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂²⋊C₄×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3416	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1757 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33465	C₂	semidirect
3. #22460	C₂	semidirect
4. #22458	C₂	semidirect
5. #13246	C₂	semidirect
6. #13036	C₂	semidirect
7. #13035	C₂	semidirect
8. #12840	C₂	semidirect
9. #12744	C₂	semidirect
10. #12743	C₂	semidirect
11. #12613	C₂	semidirect
16. C₂×#510	C₄	semidirect
18. C₂×#509	C₄	semidirect
20. C₂×#508	C₄	semidirect
22. C₂²×SD₃₂	C₄	semidirect
26. #2957	C₂²	semidirect
31. C₂×#368	C₂²	semidirect
32. C₂×#362	C₂²	semidirect
35. #2143	C₂²	semidirect
37. #2108	C₂²	semidirect
38. #1979	C₂²	semidirect
47. #1385	C₂²	semidirect
48. #1378	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3416	2
#33465	2
#22460	2
#22458	2
#13246	2
#13036	2
#13035	2
#12840	2
#12744	2
#12743	2
#12613	2