Subgroups — #497461

Order 512.

945 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22468	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13244	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13028	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13023	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12843	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12615	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#578	C₂²	1	2	yes	—
13	#3417	—	2	4	no	—
14	#3417	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#510	—	2	2	no	—
16	C₂×#510	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#508	—	2	1	no	—
18	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×Q₃₂	—	2	1	no	—
20	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
23	#2951	C₂²	1	2	yes	—
24	#2898	—	2	2	no	—
25	#2179	—	2	4	no	—
26	#2177	—	2	1	no	—
27	#2176	—	2	1	no	—
28	C₄×SD₃₂	—	2	2	no	—
29	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
33	#2139	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#350	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1979	C₂²	1	2	yes	—
39	#1969	C₂²	1	2	yes	—
40	#1908	—	2	2	no	—
41	#1882	—	2	2	no	—
42	#1816	C₂²	1	2	yes	—
43	#1793	—	2	2	no	—
44	#1764	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1387	C₂²	1	2	yes	—
46	#1379	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1376	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
49	#578	—	2	4	no	—
50	#578	—	2	4	no	—
51	#578	—	4	2	no	—
52	#578	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂×#137	—	2	2	no	—
54	C₂×#137	—	4	2	no	—
55	C₂×#135	—	2	2	no	—
56	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#131	—	2	2	no	—
60	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#520	—	2	2	no	—
62	#510	—	2	4	no	—
63	#510	—	2	16	no	—
64	#510	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	#508	—	2	8	no	—
66	#508	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#508	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
69	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
70	C₂×Q₃₂	—	2	1	no	—
71	C₂×Q₃₂	—	2	1	no	—
72	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
73	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
74	C₂×Q₃₂	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
76	C₂×SD₃₂	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×D₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#504	—	2	2	no	—
79	#504	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
81	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#443	—	2	4	no	—
87	#443	—	4	2	no	—
88	#440	—	4	2	no	—
89	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×D₈	—	2	2	no	—
91	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#104	—	2	2	no	—
94	C₂×#104	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#419	—	2	2	no	—
96	#419	—	4	2	no	—
97	#417	—	2	2	no	—
98	#417	—	2	2	no	—
99	#417	—	4	2	no	—
100	#416	—	4	2	no	—
101	#416	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#103	—	2	2	no	—
103	C₂×#103	—	4	2	no	—
104	C₂×#101	—	2	2	no	—
105	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#391	—	2	2	no	—
108	#368	—	2	2	no	—
109	#367	—	2	1	no	—
110	#367	—	2	1	no	—
111	#362	—	4	2	no	—
112	#359	—	2	4	no	—
113	#358	—	2	2	no	—
114	#358	—	4	2	no	—
115	#357	—	2	2	no	—
116	#350	—	2	2	no	—
117	#346	—	2	2	no	—
118	#346	—	2	1	no	—
119	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
120	#343	—	2	2	no	—
121	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
122	#339	D₄	1	1	yes	characteristic
123	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
124	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
125	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
126	2₋¹⁺⁴	—	8	2	no	—
127	C₂×#41	—	2	2	no	—
128	C₂×#41	—	4	2	no	—
129	C₂×#41	—	4	2	no	—
130	C₂×#41	—	8	2	no	—
131	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
134	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
135	#137	—	2	8	no	—
136	#137	—	4	8	no	—
137	#137	—	4	8	no	—
138	#137	—	4	4	no	—
139	#135	—	2	8	no	—
140	#135	—	2	2	no	—
141	#135	—	2	2	no	—
142	#135	—	4	4	no	—
143	#135	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	#135	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
157	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	#131	—	2	1	no	—
159	#131	—	2	1	no	—
160	#131	—	4	4	no	—
161	#131	—	8	2	no	—
162	#131	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	#131	#41	1	2	yes	—
164	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
167	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
174	C₄×D₄	—	4	2	no	—
175	C₄×D₄	—	8	2	no	—
176	#117	—	4	2	no	—
177	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	Q₃₂	—	2	8	no	—
182	Q₃₂	—	2	4	no	—
183	Q₃₂	—	2	4	no	—
184	Q₃₂	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	SD₃₂	—	2	8	no	—
186	SD₃₂	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
187	D₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
188	M₃₂	—	2	1	no	—
189	M₃₂	—	2	4	no	—
190	M₃₂	—	2	1	no	—
191	M₃₂	—	2	1	no	—
192	M₃₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
194	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
198	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
199	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	#108	—	2	2	no	—
204	#108	—	2	2	no	—
205	#107	—	2	2	no	—
206	#107	—	2	2	no	—
207	#104	—	2	2	no	—
208	#104	—	4	4	no	—
209	#103	—	4	2	no	—
210	#103	—	4	2	no	—
211	#103	—	4	2	no	—
212	#103	—	4	2	no	—
213	#103	—	4	2	no	—
214	#103	—	4	2	no	—
215	#103	D₈	1	2	yes	—
216	#102	—	4	2	no	—
217	#102	—	4	2	no	—
218	#102	D₈	1	2	yes	—
219	#101	—	8	2	no	—
220	#97	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	2	1	no	—
224	#95	—	8	2	no	—
225	#41	—	2	1	no	—
226	#41	—	2	1	no	—
227	#41	—	2	4	no	—
228	#41	—	2	4	no	—
229	#41	—	4	8	no	—
230	#41	—	4	2	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	8	no	—
233	#41	—	8	4	no	—
234	#41	—	8	8	no	—
235	#41	—	8	4	no	—
236	#41	—	8	8	no	—
237	#41	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	#41	#135	1	2	yes	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
251	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂×D₄	—	2	1	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	8	2	no	—
256	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	Q₁₆	—	2	4	no	—
267	Q₁₆	—	2	4	no	—
268	Q₁₆	—	2	2	no	—
269	Q₁₆	—	4	8	no	—
270	Q₁₆	—	4	2	no	—
271	Q₁₆	—	4	2	no	—
272	Q₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
273	SD₁₆	—	2	4	no	—
274	SD₁₆	—	2	4	no	—
275	SD₁₆	—	4	8	no	—
276	D₈	—	2	2	no	—
277	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
278	M₁₆	—	2	1	no	—
279	M₁₆	—	2	2	no	—
280	M₁₆	—	2	2	no	—
281	M₁₆	—	2	1	no	—
282	M₁₆	—	2	1	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	8	4	no	—
286	M₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	1	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	8	4	no	—
295	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
305	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
308	C₄²	—	2	1	no	—
309	C₄²	—	2	1	no	—
310	C₄²	—	2	1	no	—
311	C₄²	—	8	2	no	—
312	C₁₆	—	2	2	no	—
313	C₁₆	—	4	1	no	—
314	C₁₆	—	4	1	no	—
315	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₂³	—	2	1	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	1	no	—
321	Q₈	—	2	4	no	—
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	Q₈	—	8	8	no	—
326	Q₈	—	8	2	no	—
327	Q₈	—	8	2	no	—
328	Q₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
329	D₄	—	2	2	no	—
330	D₄	—	2	2	no	—
331	D₄	—	2	4	no	—
332	D₄	—	2	1	no	—
333	D₄	—	4	4	no	—
334	D₄	—	4	4	no	—
335	D₄	—	4	2	no	—
336	D₄	—	8	8	no	—
337	D₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	—	8	8	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	16	2	no	—
354	C₂×C₄	—	32	2	no	—
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	2	no	—
363	C₈	—	4	1	no	—
364	C₈	—	8	2	no	—
365	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
366	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
367	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
368	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	8	2	no	—
375	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	8	1	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	—	16	2	no	—
384	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
385	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
386	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	2	1	no	—
390	C₂	—	4	2	no	—
391	C₂	—	8	4	no	—
392	C₂	C₂²⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#33855	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3417	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1764 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2179	C₂	semidirect
3. #33460	C₂	semidirect
4. #22468	C₂	semidirect
5. #13244	C₂	semidirect
6. #13240	C₂	semidirect
7. #13028	C₂	semidirect
8. #13023	C₂	semidirect
9. #12843	C₂	semidirect
10. #12749	C₂	semidirect
11. #12615	C₂	semidirect
14. #3417	C₄	semidirect
52. #578	C₂×C₄	semidirect
64. #510	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×Q₃₂	C₂×C₄	semidirect
79. #504	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3417	2
C₂×#2179	2
#33460	2
#22468	2
#13244	2
#13240	2
#13028	2
#13023	2
#12843	2
#12749	2
#12615	2