Subgroups — #497462

Order 512.

981 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3415	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2178	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22466	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13245	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13029	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13022	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12748	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12614	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#576	C₂²	1	2	yes	—
13	#3415	—	2	4	no	—
14	#3415	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#509	—	2	2	no	—
16	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#508	—	2	1	no	—
18	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×D₁₆	—	2	1	no	—
20	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#2951	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#2897	—	2	2	no	—
25	#2178	—	2	4	no	—
26	#2175	—	2	2	no	—
27	C₄×Q₃₂	—	2	1	no	—
28	C₄×D₁₆	—	2	1	no	—
29	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#2139	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#350	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#1978	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1970	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1907	—	2	2	no	—
41	#1883	—	2	2	no	—
42	#1816	C₂²	1	2	yes	—
43	#1792	—	2	2	no	—
44	#1764	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1387	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#1379	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#1376	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
49	#576	—	2	4	no	—
50	#576	—	2	4	no	—
51	#576	—	4	2	no	—
52	#576	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
54	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	2	no	—
55	C₂×#135	—	2	2	no	—
56	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#131	—	2	2	no	—
60	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#520	—	2	2	no	—
62	#509	—	2	4	no	—
63	#509	—	2	16	no	—
64	#509	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	#508	—	2	8	no	—
66	#508	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#508	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×Q₃₂	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
70	C₂×SD₃₂	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×D₁₆	—	2	8	no	—
73	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
74	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
75	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	C₂×D₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#504	—	2	2	no	—
79	#504	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
81	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#443	—	2	4	no	—
87	#443	—	4	2	no	—
88	#440	—	4	2	no	—
89	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×D₈	—	2	2	no	—
91	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#104	—	2	2	no	—
94	C₂×#104	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#418	—	2	2	no	—
96	#418	—	4	2	no	—
97	#417	—	2	2	no	—
98	#417	—	2	2	no	—
99	#417	—	4	2	no	—
100	#416	—	4	2	no	—
101	#416	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#102	—	2	2	no	—
103	C₂×#102	—	4	2	no	—
104	C₂×#100	—	2	2	no	—
105	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#390	—	2	2	no	—
108	#368	—	2	2	no	—
109	#366	—	2	1	no	—
110	#366	—	2	1	no	—
111	#361	—	4	2	no	—
112	#359	—	2	4	no	—
113	#358	—	2	2	no	—
114	#357	—	2	2	no	—
115	#357	—	4	2	no	—
116	#350	—	2	2	no	—
117	#346	—	2	1	no	—
118	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
119	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
120	#343	—	2	2	no	—
121	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
122	#339	D₄	1	1	yes	characteristic
123	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
124	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
125	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
126	H(5,𝔽₂)	—	8	2	no	—
127	C₂×#41	—	2	2	no	—
128	C₂×#41	—	4	2	no	—
129	C₂×#41	—	4	2	no	—
130	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
135	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
136	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
137	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
138	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
139	#135	—	2	8	no	—
140	#135	—	2	2	no	—
141	#135	—	2	2	no	—
142	#135	—	4	4	no	—
143	#135	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	#135	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×D₈	—	2	8	no	—
149	C₂×D₈	—	2	2	no	—
150	C₂×D₈	—	2	2	no	—
151	C₂×D₈	—	2	2	no	—
152	C₂×D₈	—	2	2	no	—
153	C₂×D₈	—	2	2	no	—
154	C₂×D₈	—	4	4	no	—
155	C₂×D₈	—	4	2	no	—
156	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	#131	—	2	1	no	—
159	#131	—	2	1	no	—
160	#131	—	4	4	no	—
161	#131	—	8	2	no	—
162	#131	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	#131	#41	1	2	yes	—
164	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
167	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
174	C₄×D₄	—	4	2	no	—
175	C₄×D₄	—	8	2	no	—
176	#117	—	4	2	no	—
177	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	Q₃₂	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
183	SD₃₂	—	2	8	no	—
184	SD₃₂	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
185	D₁₆	—	2	8	no	—
186	D₁₆	—	2	4	no	—
187	D₁₆	—	2	4	no	—
188	D₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
189	M₃₂	—	2	1	no	—
190	M₃₂	—	2	4	no	—
191	M₃₂	—	2	1	no	—
192	M₃₂	—	2	1	no	—
193	M₃₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
198	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
199	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
200	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	#108	—	2	2	no	—
205	#108	—	2	2	no	—
206	#107	—	2	2	no	—
207	#107	—	2	2	no	—
208	#104	—	2	2	no	—
209	#104	—	4	4	no	—
210	#103	—	4	2	no	—
211	#103	—	4	2	no	—
212	#103	D₈	1	1	yes	characteristic
213	#103	D₈	1	1	yes	characteristic
214	#102	—	4	2	no	—
215	#102	—	4	2	no	—
216	#102	—	4	2	no	—
217	#102	—	4	2	no	—
218	#102	—	4	2	no	—
219	#102	—	4	2	no	—
220	#102	D₈	1	1	yes	characteristic
221	#102	D₈	1	1	yes	characteristic
222	#100	—	8	2	no	—
223	#97	—	2	1	no	—
224	C₄×C₈	—	2	1	no	—
225	C₄×C₈	—	2	1	no	—
226	C₄×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂⁴	—	4	2	no	—
228	C₂⁴	—	8	2	no	—
229	#41	—	2	1	no	—
230	#41	—	2	1	no	—
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	4	no	—
233	#41	—	4	8	no	—
234	#41	—	4	2	no	—
235	#41	—	4	2	no	—
236	#41	—	4	8	no	—
237	#41	—	8	4	no	—
238	#41	—	8	4	no	—
239	#41	C₄×D₄	1	2	yes	—
240	#41	#135	1	2	yes	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂×D₄	—	2	1	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	8	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	8	4	no	—
255	C₂×D₄	—	8	2	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	2	no	—
258	C₂×D₄	—	8	8	no	—
259	C₂×D₄	—	8	8	no	—
260	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	—	2	2	no	—
269	Q₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	SD₁₆	—	2	4	no	—
271	SD₁₆	—	2	4	no	—
272	SD₁₆	—	4	8	no	—
273	D₈	—	2	4	no	—
274	D₈	—	2	4	no	—
275	D₈	—	2	2	no	—
276	D₈	—	4	8	no	—
277	D₈	—	4	2	no	—
278	D₈	—	4	2	no	—
279	D₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
280	M₁₆	—	2	1	no	—
281	M₁₆	—	2	2	no	—
282	M₁₆	—	2	2	no	—
283	M₁₆	—	2	1	no	—
284	M₁₆	—	2	1	no	—
285	M₁₆	—	4	2	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	8	4	no	—
288	M₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	1	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	8	4	no	—
297	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
308	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
309	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
313	C₄²	—	2	1	no	—
314	C₄²	—	2	1	no	—
315	C₄²	—	2	1	no	—
316	C₄²	—	8	2	no	—
317	C₁₆	—	2	2	no	—
318	C₁₆	—	4	1	no	—
319	C₁₆	—	4	1	no	—
320	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
321	C₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
322	C₂³	—	2	1	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	8	8	no	—
326	C₂³	—	8	2	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	—	16	2	no	—
329	C₂³	—	16	2	no	—
330	C₂³	—	32	2	no	—
331	C₂³	—	32	2	no	—
332	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	2	1	no	—
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
337	D₄	—	2	2	no	—
338	D₄	—	2	2	no	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	D₄	—	2	1	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	4	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	8	8	no	—
347	D₄	—	8	8	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	1	no	—
356	C₂×C₄	—	2	1	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	8	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	16	2	no	—
365	C₂×C₄	—	32	2	no	—
366	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	2	1	no	—
374	C₈	—	2	1	no	—
375	C₈	—	4	1	no	—
376	C₈	—	8	2	no	—
377	C₈	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
378	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
379	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
380	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	1	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	8	2	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	16	4	no	—
391	C₂²	—	16	2	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	—	32	2	no	—
394	C₂²	—	32	8	no	—
395	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	4	2	no	—
400	C₄	—	4	1	no	—
401	C₄	—	4	1	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	16	2	no	—
404	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
405	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
406	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
408	C₂	—	2	1	no	—
409	C₂	—	2	1	no	—
410	C₂	—	4	2	no	—
411	C₂	—	8	4	no	—
412	C₂	—	16	4	no	—
413	C₂	C₂²⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#33858	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#33859	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3415	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1764 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2178	C₂	semidirect
3. #33459	C₂	semidirect
4. #22466	C₂	semidirect
5. #13245	C₂	semidirect
6. #13235	C₂	semidirect
7. #13029	C₂	semidirect
8. #13022	C₂	semidirect
9. #12842	C₂	semidirect
10. #12748	C₂	semidirect
11. #12614	C₂	semidirect
14. #3415	C₄	semidirect
22. C₂×#443	C₂²	semidirect
23. #2951	C₂²	semidirect
29. C₂×#368	C₂²	semidirect
30. C₂×#366	C₂²	semidirect
31. C₂×#361	C₂²	semidirect
32. C₂×#359	C₂²	semidirect
33. #2139	C₂²	semidirect
34. C₂×#357	C₂²	semidirect
36. #2108	C₂²	semidirect
37. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
38. #1978	C₂²	semidirect
39. #1970	C₂²	semidirect
45. #1387	C₂²	semidirect
46. #1379	C₂²	semidirect
47. #1376	C₂²	semidirect
52. #576	C₂×C₄	semidirect
64. #509	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
79. #504	C₂×C₄	semidirect
182. Q₃₂	C₂²⋊C₄	semidirect
184. SD₃₂	C₂²⋊C₄	semidirect
188. D₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3415	2
C₂×#2178	2
#33459	2
#22466	2
#13245	2
#13235	2
#13029	2
#13022	2
#12842	2
#12748	2
#12614	2