Subgroups — #497465

Order 512.

1036 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#12976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#12844	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1374	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₄×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₈×#41	—	2	8	no	—
12	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#431	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#431	C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	D₄×C₁₆	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1374	C₂²	1	4	yes	—
30	#1374	C₂²	1	2	yes	—
31	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1374	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×#41	C₈	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₄×#41	—	2	4	no	—
39	C₄×#41	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	C₈	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	C₈	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	4	4	no	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
57	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	8	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	—	2	8	no	—
61	C₈×D₄	D₄	1	8	yes	—
62	#431	—	2	4	no	—
63	#431	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
82	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
83	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
84	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	C₁₆	1	8	yes	complemented
88	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄×D₄	—	2	4	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₄×D₄	M₁₆	1	4	yes	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×C₁₆	—	4	16	no	—
155	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	complemented
156	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
163	C₄×C₈	—	2	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	4	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
172	#41	—	2	32	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
179	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
180	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
181	C₂×D₄	M₃₂	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
203	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	8	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
247	C₄²	—	2	1	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
257	C₁₆	—	2	4	no	—
258	C₁₆	—	4	4	no	—
259	C₁₆	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	1	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂×M₃₂	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	2	8	no	—
276	D₄	—	2	16	no	—
277	D₄	C₂²⋊C₁₆	1	16	yes	complemented
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	4	1	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	#546	1	2	yes	—
326	C₈	#547	1	2	yes	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	4	1	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	4	1	no	—
340	C₂²	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	8	yes	—
341	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	1	no	—
355	C₄	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	4	yes	—
356	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2970	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2990	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	2	8	no	—
361	C₂	—	4	2	no	—
362	C₂	#22469	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂²×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#33334	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₁₆×#41	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#33484	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#33502	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#33504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂²×#41	C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
3. #13263	C₂	semidirect
4. #12976	C₂	semidirect
5. #12844	C₂	semidirect
6. #12783	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
8. C₂×#1374	C₂	semidirect
87. C₂×#41	C₁₆	semidirect
155. C₂×C₁₆	#41	semidirect
175. C₂×Q₈	C₂×C₁₆	semidirect
180. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
202. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
203. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
277. D₄	C₂²⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
C₂×D₄×C₁₆	2
#13263	2
#12976	2
#12844	2
#12783	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×#1374	2