Subgroups — #497576

Order 512.

914 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2183	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13264	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#13263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#12783	C₂	1	2	yes	maximal
7	#12599	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×Q₈	—	2	8	no	—
11	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#2183	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#346	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	#1374	C₂²	1	2	yes	—
30	#1374	C₂²	1	4	yes	—
31	#1374	C₂²	1	4	yes	—
32	#1374	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
53	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
54	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
57	C₈×Q₈	D₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
78	C₄⋊C₁₆	—	2	8	no	—
79	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂²⋊C₁₆	Q₈	1	4	yes	complemented
82	#346	—	2	8	no	—
83	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
84	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₄×Q₈	M₁₆	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
150	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
156	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	4	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	4	no	—
161	C₄×C₈	—	2	4	no	—
162	C₄×C₈	—	2	2	no	—
163	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
165	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
175	C₂×Q₈	M₃₂	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	M₃₂	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	4	no	—
219	C₂×C₈	—	4	8	no	—
220	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	1	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	4	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
245	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
246	C₁₆	—	2	4	no	—
247	C₁₆	—	4	2	no	—
248	C₁₆	—	4	4	no	—
249	C₂³	—	2	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	C₈×Q₈	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
255	C₂³	#504	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
257	Q₈	—	2	16	no	—
258	Q₈	—	2	8	no	—
259	Q₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	16	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₈×Q₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	2	no	—
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	4	1	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	#548	1	2	yes	—
307	C₈	D₄×Q₈	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	#2183	1	4	yes	complemented
315	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂×C₈×Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2982	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	4	1	no	—
330	C₄	#2112	1	4	yes	—
331	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
333	C₄	Q₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#2984	1	1	yes	characteristic
335	C₂	—	2	4	no	—
336	C₂	Q₈×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×#2112	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#33334	1	1	yes	characteristic
339	C₂	C₂×#2183	1	1	yes	characteristic
340	C₂	Q₈×M₃₂	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#33497	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#33498	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2183	C₂	semidirect
3. #13264	C₂	semidirect
4. #13263	C₂	semidirect
81. C₂²⋊C₁₆	Q₈	semidirect
149. C₂×C₁₆	C₂×Q₈	semidirect
314. C₂²	#2183	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×Q₈	2
C₂×#2183	2
#13264	2
#13263	2
#12783	2
#12599	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2