Subgroups — #497615

Order 512.

758 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22727	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13283	C₂	1	2	yes	maximal
5	#13282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#13276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#13275	C₂	1	2	yes	maximal
8	#12814	C₂	1	2	yes	maximal
9	#12812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#12638	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×Q₈²	—	2	1	no	—
13	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
14	Q₈×Q₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#477	—	2	1	no	—
18	C₂×#477	—	2	2	no	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	#2355	—	2	1	no	—
23	#2183	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1949	—	2	2	no	—
32	#1948	—	2	1	no	—
33	#1846	C₂²	1	2	yes	—
34	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
37	#1380	C₂²	1	2	yes	—
38	#1380	C₂²	1	2	yes	—
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1380	C₂²	1	2	yes	—
43	#1380	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	Q₈²	—	2	8	no	—
46	Q₈²	—	4	4	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	4	1	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#500	—	2	2	no	—
59	#500	—	2	4	no	—
60	#500	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#477	—	2	8	no	—
63	#477	—	2	16	no	—
64	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₈×Q₈	D₄	1	4	yes	—
66	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
67	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	—	2	1	no	—
73	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#106	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×#103	—	2	2	no	—
82	C₂×#103	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	#391	—	4	1	no	—
86	#387	—	4	2	no	—
87	#384	—	2	1	no	—
88	#382	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
92	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
94	#358	—	2	4	no	—
95	#358	—	2	2	no	—
96	#358	Q₈	1	4	yes	complemented
97	#346	—	2	4	no	—
98	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
99	#340	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	1	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
104	C₂²×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
108	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂×Q₁₆	#41	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
123	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
124	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
125	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₄×Q₈	SD₁₆	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
155	#107	—	2	4	no	—
156	#107	—	2	8	no	—
157	#107	—	2	1	no	—
158	#107	—	2	2	no	—
159	#107	—	2	1	no	—
160	#107	—	2	2	no	—
161	#107	—	2	1	no	—
162	#107	—	2	2	no	—
163	#107	—	2	1	no	—
164	#107	—	8	1	no	—
165	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	#107	C₂×Q₈	1	2	yes	—
168	#106	—	8	2	no	—
169	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
171	#103	—	2	4	no	—
172	#103	—	2	8	no	—
173	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	#95	—	4	1	no	—
178	#95	—	4	2	no	—
179	#95	—	4	2	no	—
180	#95	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	16	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	16	1	no	—
195	C₂×Q₈	#102	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	Q₁₆	—	2	2	no	—
208	Q₁₆	—	2	2	no	—
209	Q₁₆	—	2	2	no	—
210	Q₁₆	C₄×Q₈	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	16	1	no	—
239	C₄⋊C₄	#102	1	8	yes	—
240	C₄⋊C₄	#102	1	4	yes	—
241	C₄²	—	4	8	no	—
242	C₄²	—	4	4	no	—
243	C₄²	—	8	2	no	—
244	C₄²	—	16	2	no	—
245	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
249	C₁₆	—	2	2	no	—
250	C₁₆	—	4	1	no	—
251	C₁₆	—	4	2	no	—
252	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
253	Q₈	—	2	8	no	—
254	Q₈	—	2	4	no	—
255	Q₈	—	4	2	no	—
256	Q₈	—	4	2	no	—
257	Q₈	—	4	2	no	—
258	Q₈	—	16	8	no	—
259	Q₈	—	16	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	8	1	no	—
273	C₂×C₄	—	8	1	no	—
274	C₂×C₄	—	8	1	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	1	no	—
278	C₂×C₄	—	8	1	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	1	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	1	no	—
284	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#510	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#510	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
296	C₈	—	2	4	no	—
297	C₈	—	2	2	no	—
298	C₈	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
299	C₈	#519	1	1	yes	characteristic
300	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
301	C₈	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#3358	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	Q₈×D₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂×#510	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂×#510	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#3416	1	1	yes	characteristic
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	2	4	no	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	4	4	no	—
313	C₄	—	8	4	no	—
314	C₄	—	8	2	no	—
315	C₄	—	8	2	no	—
316	C₄	—	16	1	no	—
317	C₄	—	16	2	no	—
318	C₄	#2141	1	4	yes	—
319	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#2898	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#3359	1	1	yes	characteristic
322	C₄	Q₈×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
323	C₂	Q₈×#102	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂×#2141	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#33381	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#33936	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#33942	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#33952	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#33954	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ C₂×C₈×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. Q₈×Q₁₆	C₄	semidirect
96. #358	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Q₁₆	2
C₂×#2183	2
#22727	2
#13283	2
#13282	2
#13276	2
#13275	2
#12814	2
#12812	2
#12638	2
C₄×#358	2