Subgroups — #497626

Order 512.

992 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 226 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×Q₈×C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13189	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#12783	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₈×#41	—	2	8	no	—
8	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×D₄	C₄	1	3	yes	—
11	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂×#431	C₄	1	3	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	3	yes	—
14	Q₈×C₁₆	—	2	8	no	—
15	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	6	yes	—
19	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1374	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂²×#41	C₈	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
23	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
24	C₄×#41	—	2	4	no	—
25	C₄×#41	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×D₄	C₈	1	3	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
30	C₂×#117	C₈	1	3	yes	—
31	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
32	C₂²×C₁₆	C₂³	1	6	yes	—
33	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
34	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
35	C₈×Q₈	D₄	1	8	yes	—
36	C₈×D₄	—	2	12	no	—
37	C₈×D₄	—	2	12	no	—
38	#431	—	2	12	no	—
39	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
40	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
41	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	—	2	12	no	—
43	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
44	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
45	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
47	C₄⋊C₁₆	—	2	12	no	—
48	C₂²⋊C₁₆	—	2	12	no	—
49	C₂²⋊C₁₆	—	4	6	no	—
50	C₄×C₁₆	—	2	12	no	—
51	C₂×#41	—	2	4	no	—
52	C₂×#41	—	2	4	no	—
53	C₂×#41	C₁₆	1	8	yes	complemented
54	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	3	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	3	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	3	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
59	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
65	C₂²×C₈	—	4	3	no	—
66	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
67	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
70	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
71	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₄×Q₈	M₁₆	1	4	yes	—
73	C₄×D₄	—	2	12	no	—
74	C₄×D₄	—	2	6	no	—
75	C₄×D₄	—	2	6	no	—
76	#117	—	2	12	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	3	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	3	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	6	yes	—
80	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
81	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
82	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	3	yes	—
83	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	3	yes	—
84	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
86	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
87	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×C₁₆	—	2	6	no	—
89	C₂×C₁₆	—	2	6	no	—
90	C₂×C₁₆	—	2	6	no	—
91	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	complemented
92	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
93	C₄⋊C₈	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
94	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
95	C₄×C₈	—	2	6	no	—
96	C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₄×C₈	—	2	6	no	—
98	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
99	C₂⁴	C₂²×C₈	1	3	yes	—
100	#41	—	2	32	no	—
101	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
102	C₂×Q₈	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
103	C₂×Q₈	M₃₂	1	4	yes	—
104	C₂×D₄	—	2	6	no	—
105	C₂×D₄	—	2	6	no	—
106	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	12	yes	—
107	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
118	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	12	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	3	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	3	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	3	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂×C₈	—	2	3	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	3	no	—
129	C₂×C₈	—	2	3	no	—
130	C₂×C₈	—	2	3	no	—
131	C₂×C₈	—	2	3	no	—
132	C₂×C₈	—	4	12	no	—
133	C₂×C₈	—	4	6	no	—
134	C₂×C₈	—	4	6	no	—
135	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
136	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
137	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
139	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
142	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₈	1	12	yes	—
143	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
144	C₄²	—	2	1	no	—
145	C₄²	—	2	1	no	—
146	C₄²	—	2	6	no	—
147	C₄²	—	2	6	no	—
148	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
149	C₄²	C₂×M₁₆	1	6	yes	—
150	C₁₆	—	2	4	no	—
151	C₁₆	—	4	6	no	—
152	C₂³	—	2	3	no	—
153	C₂³	—	2	3	no	—
154	C₂³	—	2	3	no	—
155	C₂³	—	2	3	no	—
156	C₂³	—	2	3	no	—
157	C₂³	—	2	3	no	—
158	C₂³	C₂²×C₁₆	1	6	yes	—
159	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
160	Q₈	C₂²⋊C₁₆	1	16	yes	complemented
161	D₄	—	2	24	no	—
162	C₂×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄	—	2	3	no	—
166	C₂×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄	—	2	3	no	—
168	C₂×C₄	—	2	24	no	—
169	C₂×C₄	—	2	3	no	—
170	C₂×C₄	—	2	3	no	—
171	C₂×C₄	—	2	3	no	—
172	C₂×C₄	—	4	12	no	—
173	C₂×C₄	—	4	3	no	—
174	C₂×C₄	—	4	3	no	—
175	C₂×C₄	—	4	3	no	—
176	C₂×C₄	—	4	3	no	—
177	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	6	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	6	yes	—
179	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	6	yes	—
181	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	6	yes	—
182	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
183	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
189	C₈	—	2	2	no	—
190	C₈	—	2	6	no	—
191	C₈	—	4	3	no	—
192	C₈	#548	1	2	yes	—
193	C₈	#550	1	2	yes	—
194	C₂²	—	2	6	no	—
195	C₂²	—	2	6	no	—
196	C₂²	—	2	6	no	—
197	C₂²	—	4	3	no	—
198	C₂²	—	4	3	no	—
199	C₂²	—	4	3	no	—
200	C₂²	—	4	3	no	—
201	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
203	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
205	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
206	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
208	C₄	—	2	2	no	—
209	C₄	—	2	2	no	—
210	C₄	—	2	6	no	—
211	C₄	—	4	3	no	—
212	C₄	C₂×C₂²⋊C₁₆	1	12	yes	—
213	C₄	#2341	1	1	yes	characteristic
214	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
215	C₄	#2971	1	1	yes	characteristic
216	C₄	#2991	1	1	yes	characteristic
217	C₂	—	4	6	no	—
218	C₂	#22530	1	1	yes	characteristic
219	C₂	C₂²×C₂²⋊C₁₆	1	1	yes	characteristic
220	C₂	#33334	1	1	yes	characteristic
221	C₂	C₁₆×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂	#33485	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#33502	1	1	yes	characteristic
224	C₂	#33505	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂²×#41	C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×Q₈×C₁₆	C₂	semidirect
3. #13189	C₂	semidirect
4. #12783	C₂	semidirect
5. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
53. C₂×#41	C₁₆	semidirect
91. C₂×C₁₆	#41	semidirect
160. Q₈	C₂²⋊C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
C₂×Q₈×C₁₆	2
#13189	2
#12783	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2