Subgroups — #497701

Order 512.

756 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22607	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13155	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12956	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12870	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#12647	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
15	#2924	—	2	1	no	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
18	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
21	#2140	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2140	C₄	1	2	yes	complemented
23	#2140	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2140	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2140	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2140	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#357	C₄	1	2	yes	complemented
28	C₂×#357	C₄	1	2	yes	complemented
29	#2112	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#1972	C₂²	1	2	yes	—
32	#1946	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#1922	—	2	2	no	—
34	#1879	—	2	2	no	—
35	#1826	—	2	1	no	—
36	#1810	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1807	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1786	—	2	1	no	—
39	#1773	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1752	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1386	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#1386	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#1383	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#1375	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
51	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
59	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
60	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
61	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
65	#442	—	2	4	no	—
66	#442	—	4	2	no	—
67	#433	—	4	2	no	—
68	#432	—	4	1	no	—
69	#431	—	4	1	no	—
70	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
71	#427	—	2	1	no	—
72	#427	—	2	1	no	—
73	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
74	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
75	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
78	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
79	C₂×#106	—	2	1	no	—
80	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
81	#424	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	#407	—	2	1	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	#405	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
88	#390	—	2	2	no	—
89	#386	—	4	2	no	—
90	#380	—	2	1	no	—
91	#379	—	4	1	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#365	—	4	2	no	—
94	#361	—	2	4	no	—
95	#361	—	4	2	no	—
96	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#357	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
101	#357	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
102	#357	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
103	#357	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
104	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
105	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
106	#347	—	4	2	no	—
107	#341	—	2	1	no	—
108	#340	—	2	1	no	—
109	#339	—	2	2	no	—
110	#339	—	2	2	no	—
111	#336	D₄	1	2	yes	—
112	C₂⁵	—	4	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
121	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×D₈	—	2	4	no	—
125	C₂×D₈	—	2	4	no	—
126	C₂×D₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂×D₈	—	2	1	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	—	2	1	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	4	2	no	—
134	C₂×D₈	—	4	2	no	—
135	C₂×D₈	—	4	4	no	—
136	C₂×D₈	—	4	4	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×D₈	#41	1	4	yes	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₄×D₄	—	4	4	no	—
152	C₄×D₄	—	8	2	no	—
153	#117	—	2	1	no	—
154	#117	—	2	1	no	—
155	#117	—	2	1	no	—
156	#117	—	2	1	no	—
157	#117	—	4	1	no	—
158	#117	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	M₃₂	—	2	2	no	—
172	M₃₂	—	2	2	no	—
173	M₃₂	—	2	2	no	—
174	M₃₂	—	2	2	no	—
175	M₃₂	—	4	2	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
178	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	#108	—	2	2	no	—
181	#108	—	2	2	no	—
182	#107	—	2	1	no	—
183	#107	—	2	1	no	—
184	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	#106	—	2	1	no	—
189	#106	—	2	1	no	—
190	#106	—	2	1	no	—
191	#106	—	2	1	no	—
192	#106	—	2	2	no	—
193	#106	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
196	#102	—	4	4	no	—
197	#102	—	8	2	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	—	2	2	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	C₄×C₈	—	4	2	no	—
206	#95	—	2	1	no	—
207	#95	—	4	1	no	—
208	C₂⁴	—	4	1	no	—
209	C₂⁴	—	4	1	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	2	no	—
212	C₂⁴	—	8	4	no	—
213	C₂⁴	—	8	2	no	—
214	C₂⁴	—	8	2	no	—
215	C₂⁴	—	16	2	no	—
216	C₂⁴	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	1	no	—
224	C₂×D₄	—	4	1	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	8	2	no	—
230	C₂×D₄	—	8	2	no	—
231	C₂×D₄	—	8	4	no	—
232	C₂×D₄	—	8	4	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
243	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	D₈	—	2	2	no	—
250	D₈	—	2	2	no	—
251	D₈	—	2	2	no	—
252	D₈	—	2	4	no	—
253	D₈	—	4	4	no	—
254	D₈	—	4	4	no	—
255	D₈	—	4	2	no	—
256	D₈	#117	1	4	yes	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	4	1	no	—
296	C₄²	—	4	1	no	—
297	C₄²	—	4	1	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₁₆	—	2	2	no	—
300	C₁₆	—	2	2	no	—
301	C₁₆	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	4	1	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	—	8	1	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	1	no	—
313	C₂³	—	8	1	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	1	no	—
316	C₂³	—	8	4	no	—
317	C₂³	—	8	4	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	16	2	no	—
320	C₂³	—	16	2	no	—
321	C₂³	—	16	8	no	—
322	C₂³	—	16	8	no	—
323	C₂³	#442	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#442	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
326	D₄	—	2	4	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	—	8	2	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	16	1	no	—
353	C₂×C₄	—	16	8	no	—
354	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
360	C₈	—	2	1	no	—
361	C₈	—	2	1	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	8	2	no	—
364	C₈	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
365	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
366	C₈	#551	1	2	yes	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	8	2	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	8	2	no	—
383	C₂²	—	16	8	no	—
384	C₂²	—	16	2	no	—
385	C₂²	—	16	2	no	—
386	C₂²	—	16	8	no	—
387	C₂²	AGL(1,ℤ/16)	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#3310	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	1	no	—
391	C₄	—	2	1	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	—	8	1	no	—
394	C₄	—	8	1	no	—
395	C₄	—	8	1	no	—
396	C₄	—	8	1	no	—
397	C₄	—	16	2	no	—
398	C₄	#2342	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#2949	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#3306	1	2	yes	—
401	C₂	—	2	2	no	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	4	1	no	—
404	C₂	—	8	4	no	—
405	C₂	—	16	2	no	—
406	C₂	#22562	1	1	yes	characteristic
407	C₂	C₂×AGL(1,ℤ/16)	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#33471	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#442
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #1752 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22607	C₂	semidirect
4. #13155	C₂	semidirect
5. #13142	C₂	semidirect
6. #12956	C₂	semidirect
7. #12870	C₂	semidirect
8. #12831	C₂	semidirect
10. #12647	C₂	semidirect
11. #12616	C₂	semidirect
18. C₂×#365	C₂²	semidirect
21. #2140	C₄	semidirect
22. #2140	C₄	semidirect
27. C₂×#357	C₄	semidirect
28. C₂×#357	C₄	semidirect
30. C₂×#347	C₂²	semidirect
32. #1946	C₂²	semidirect
39. #1773	C₂²	semidirect
41. #1386	C₂²	semidirect
42. #1386	C₂²	semidirect
43. #1383	C₂²	semidirect
44. #1375	C₂²	semidirect
60. C₂×M₃₂	C₂×C₄	semidirect
64. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
73. #427	C₂×C₄	semidirect
74. #427	C₂×C₄	semidirect
77. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
78. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
100. #357	C₂×C₄	semidirect
101. #357	C₂×C₄	semidirect
102. #357	C₂×C₄	semidirect
103. #357	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2140	2
#22607	2
#22436	2
#13155	2
#13142	2
#12956	2
#12870	2
#12831	2
#12736	2
#12647	2
#12616	2