Subgroups — #497822

Order 512.

708 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2151	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#12913	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12898	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12784	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
17	#2293	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#2169	—	2	4	no	—
19	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
20	#2151	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1767	C₄	1	1	yes	characteristic
36	#1753	C₄	1	2	yes	—
37	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	#1750	C₄	1	2	yes	—
39	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1374	C₂²	1	2	yes	—
41	#1374	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
49	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
50	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#436	—	2	4	no	—
61	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
62	C₈×D₄	Q₈	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#405	—	2	4	no	—
68	#405	—	2	4	no	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
79	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
80	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
81	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
82	#388	C₈	1	2	yes	—
83	#388	C₈	1	2	yes	—
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
94	C₄⋊C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
95	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
97	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
98	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
99	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₄×D₄	M₁₆	1	4	yes	—
121	#117	—	2	4	no	—
122	#117	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	M₃₂	—	4	8	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
159	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
165	#97	—	2	4	no	—
166	#97	—	2	4	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	4	1	no	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
178	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
179	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
180	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	M₁₆	—	4	8	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	1	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	1	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	4	1	no	—
245	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
248	C₄²	#131	1	2	yes	—
249	C₁₆	—	2	2	no	—
250	C₁₆	—	2	2	no	—
251	C₁₆	—	4	2	no	—
252	C₁₆	—	4	2	no	—
253	C₁₆	—	4	1	no	—
254	C₁₆	—	4	1	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
263	D₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	4	no	—
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₈	—	4	1	no	—
306	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
307	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
308	C₈	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
309	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	1	no	—
332	C₄	#2151	1	4	yes	complemented
333	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
335	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2990	1	1	yes	characteristic
337	C₂	—	4	4	no	—
338	C₂	D₄×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂	C₂×#2151	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#33398	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#33434	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#33438	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#33507	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#33508	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#2151	C₂	semidirect
5. #13159	C₂	semidirect
6. #13159	C₂	semidirect
7. #12913	C₂	semidirect
8. #12912	C₂	semidirect
9. #12898	C₂	semidirect
10. #12784	C₂	semidirect
11. C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	semidirect
94. C₄⋊C₁₆	D₄	semidirect
332. C₄	#2151	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2169	2
C₂×D₄×C₁₆	2
C₂×#2151	2
#20485	2
#13159	2
#12913	2
#12912	2
#12898	2
#12784	2
C₄×C₄⋊C₁₆	2