Subgroups — #497825

Order 512.

668 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×M₃₂	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2153	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13163	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12914	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#12900	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#12789	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×M₃₂	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
13	#2293	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#2169	—	2	2	no	—
15	#2168	—	2	4	no	—
16	D₄×C₁₆	—	2	2	no	—
17	#2153	—	2	8	no	—
18	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#364	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2150	C₂²	1	2	yes	—
24	#2112	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
26	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1767	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#1753	C₄	1	2	yes	—
30	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	#1750	C₄	1	2	yes	—
32	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1376	C₂²	1	4	yes	—
34	#1376	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
40	C₂×M₃₂	—	2	8	no	—
41	C₂×M₃₂	—	4	4	no	—
42	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
46	#436	C₈	1	4	yes	—
47	#436	C₈	1	4	yes	—
48	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₈×D₄	Q₈	1	2	yes	—
51	C₈×D₄	Q₈	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#405	—	2	4	no	—
57	#405	—	2	4	no	—
58	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#390	—	2	1	no	—
68	#389	—	2	1	no	—
69	#388	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	#364	—	2	8	no	—
74	#364	—	2	4	no	—
75	#364	—	2	2	no	—
76	#364	—	4	2	no	—
77	#364	D₄	1	4	yes	complemented
78	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
82	#346	—	2	2	no	—
83	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
84	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₄×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
107	C₄×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
108	#117	—	2	4	no	—
109	#117	—	4	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	M₁₆	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	M₃₂	—	2	2	no	—
123	M₃₂	—	2	4	no	—
124	M₃₂	—	2	2	no	—
125	M₃₂	—	2	4	no	—
126	M₃₂	—	2	2	no	—
127	M₃₂	—	4	8	no	—
128	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
133	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
136	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
137	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
140	#97	—	2	4	no	—
141	#97	—	2	4	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	2	1	no	—
146	C₄×C₈	—	2	1	no	—
147	C₄×C₈	—	4	1	no	—
148	C₄×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
149	C₄×C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
150	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
156	#95	—	2	2	no	—
157	#95	—	2	1	no	—
158	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
159	C₂×D₄	—	4	2	no	—
160	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
161	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
175	M₁₆	—	2	16	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	1	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	2	1	no	—
183	C₂×C₈	—	2	1	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂×C₈	—	2	4	no	—
188	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
194	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
195	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
196	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
205	C₄⋊C₄	C₄⋊C₈	1	2	yes	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
209	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
210	C₄²	—	2	1	no	—
211	C₄²	—	2	2	no	—
212	C₄²	—	2	1	no	—
213	C₄²	—	2	1	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	4	2	no	—
216	C₄²	—	4	2	no	—
217	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
221	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
222	C₁₆	—	2	4	no	—
223	C₁₆	—	4	4	no	—
224	C₁₆	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	4	2	no	—
229	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
231	D₄	—	2	4	no	—
232	D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
261	C₈	—	2	4	no	—
262	C₈	—	2	1	no	—
263	C₈	—	2	1	no	—
264	C₈	—	2	4	no	—
265	C₈	—	2	2	no	—
266	C₈	C₈×D₄	1	4	yes	—
267	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
268	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
269	C₈	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	—	2	1	no	—
272	C₂²	—	2	1	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	8	2	no	—
277	C₂²	—	8	2	no	—
278	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#2990	1	1	yes	characteristic
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	2	1	no	—
283	C₄	—	2	1	no	—
284	C₄	—	2	1	no	—
285	C₄	—	4	2	no	—
286	C₄	—	4	2	no	—
287	C₄	—	8	2	no	—
288	C₄	#2153	1	2	yes	complemented
289	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
291	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#2988	1	1	yes	characteristic
293	C₂	—	2	1	no	—
294	C₂	—	2	1	no	—
295	C₂	—	4	4	no	—
296	C₂	D₄×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#2153	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#33401	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈
prime radical	C₂²×D₄	M₁₆
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2153	C₂	semidirect
4. #13163	C₂	semidirect
5. #12914	C₂	semidirect
6. #12900	C₂	semidirect
7. #12789	C₂	semidirect
8. C₄×#364	C₂	semidirect
77. #364	D₄	semidirect
288. C₄	#2153	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×M₃₂	2
C₂×#2153	2
#20485	2
#13163	2
#12914	2
#12900	2
#12789	2
C₄×#364	2