Subgroups — #497843

Order 512.

680 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#367	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22656	C₂	1	2	yes	maximal
5	#13178	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12921	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12919	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12907	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#367	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
17	#2352	—	2	2	no	—
18	D₄×C₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
19	#2158	—	2	4	no	—
20	C₂×#367	—	2	4	no	—
21	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1949	—	2	2	no	—
33	#1854	—	2	2	no	—
34	#1853	—	2	2	no	—
35	#1846	C₂²	1	2	yes	—
36	#1808	C₂²	1	2	yes	—
37	#1808	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₈×D₄	Q₈	1	4	yes	—
59	#427	—	2	4	no	—
60	#427	—	4	2	no	—
61	C₂×#107	—	2	4	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	4	2	no	—
64	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#388	—	4	2	no	—
75	#387	—	4	2	no	—
76	#386	—	4	2	no	—
77	#382	—	2	2	no	—
78	#380	—	2	2	no	—
79	#380	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
82	#367	—	2	2	no	—
83	#367	—	2	2	no	—
84	#367	—	2	2	no	—
85	#367	—	2	4	no	—
86	#367	D₄	1	4	yes	complemented
87	#366	—	2	4	no	—
88	#366	—	4	2	no	—
89	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
90	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
92	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₄×D₄	Q₁₆	1	4	yes	—
118	#117	—	4	4	no	—
119	#117	—	8	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
144	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
150	#107	—	2	2	no	—
151	#107	—	2	2	no	—
152	#107	—	2	2	no	—
153	#107	—	2	2	no	—
154	#107	—	2	2	no	—
155	#107	—	2	2	no	—
156	#107	—	2	2	no	—
157	#107	—	4	4	no	—
158	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	#106	—	4	4	no	—
160	#106	—	8	2	no	—
161	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	#95	—	4	2	no	—
167	#95	—	4	2	no	—
168	#95	—	4	2	no	—
169	#95	—	4	2	no	—
170	#95	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	#107	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
231	C₄⋊C₄	#107	1	4	yes	—
232	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	#107	1	4	yes	—
236	C₂²⋊C₄	#107	1	4	yes	—
237	C₄²	—	8	4	no	—
238	C₄²	—	16	2	no	—
239	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
241	C₁₆	—	2	2	no	—
242	C₁₆	—	2	2	no	—
243	C₁₆	—	2	2	no	—
244	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	1	no	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
254	C₂³	#508	1	4	yes	—
255	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
256	D₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	—	8	2	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	16	8	no	—
284	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
294	C₈	—	2	2	no	—
295	C₈	—	2	2	no	—
296	C₈	—	2	2	no	—
297	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
299	C₈	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
300	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	#2158	1	4	yes	complemented
311	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#3334	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
315	C₂²	#3416	1	2	yes	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	8	4	no	—
321	C₄	—	16	2	no	—
322	C₄	—	16	2	no	—
323	C₄	—	16	2	no	—
324	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
326	C₄	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#3338	1	1	yes	characteristic
328	C₂	—	2	4	no	—
329	C₂	—	4	2	no	—
330	C₂	D₄×#107	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂×#2158	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#33411	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#33848	1	2	yes	—
334	C₂	#33904	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2158	C₂	semidirect
3. C₂²×#367	C₂	semidirect
5. #13178	C₂	semidirect
6. #12921	C₂	semidirect
7. #12919	C₂	semidirect
8. #12907	C₂	semidirect
9. #12835	C₂	semidirect
10. #12835	C₂	semidirect
11. C₄×#367	C₂	semidirect
18. D₄×C₁₆	C₄	semidirect
52. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
86. #367	D₄	semidirect
89. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
91. C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
92. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
310. C₂²	#2158	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×C₁₆	2
C₂×#2158	2
C₂²×#367	2
#22656	2
#13178	2
#12921	2
#12919	2
#12907	2
#12835	2
C₄×#367	2