Subgroups — #497863

Order 512.

609 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#368	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	D₄×#108	C₂	1	2	yes	maximal
5	#13179	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12922	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12922	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12910	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12838	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	D₄×M₁₆	—	2	2	no	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
18	#2168	C₄	1	4	yes	—
19	#2168	C₄	1	4	yes	—
20	#2161	—	2	4	no	—
21	C₂×#368	—	2	4	no	—
22	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1950	—	2	2	no	—
34	#1855	—	2	2	no	—
35	#1855	—	2	2	no	—
36	#1848	C₂²	1	2	yes	—
37	#1810	C₂²	1	2	yes	—
38	#1810	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×#108	C₂²	1	2	yes	—
40	#1381	C₂²	1	2	yes	—
41	#1381	C₂²	1	2	yes	—
42	#1381	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
49	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
50	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#436	—	4	2	no	—
60	#435	—	4	2	no	—
61	#435	—	4	2	no	—
62	C₈×D₄	—	4	2	no	—
63	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₈×D₄	Q₈	1	2	yes	—
66	C₈×D₄	Q₈	1	2	yes	—
67	C₂×#108	—	2	4	no	—
68	C₂×#108	—	2	4	no	—
69	C₂×#108	—	2	2	no	—
70	C₂×#108	—	2	2	no	—
71	C₂×#108	—	2	2	no	—
72	C₂×#108	—	4	2	no	—
73	C₂×#108	—	4	2	no	—
74	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	#407	—	2	2	no	—
81	#407	—	2	2	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#368	—	2	2	no	—
87	#368	—	2	2	no	—
88	#368	—	2	2	no	—
89	#368	—	2	4	no	—
90	#368	—	2	4	no	—
91	#368	—	4	2	no	—
92	#368	D₄	1	4	yes	complemented
93	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#346	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	#341	—	2	2	no	—
99	#341	—	2	2	no	—
100	#341	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	Q₁₆	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₄×D₄	D₈	1	2	yes	—
137	C₄×D₄	D₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	Q₁₆	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	Q₁₆	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₂²⋊C₄	Q₁₆	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	M₃₂	—	2	8	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
157	#108	—	2	2	no	—
158	#108	—	2	2	no	—
159	#108	—	2	2	no	—
160	#108	—	2	2	no	—
161	#108	—	2	2	no	—
162	#108	—	2	2	no	—
163	#108	—	2	2	no	—
164	#108	—	4	4	no	—
165	#108	—	4	4	no	—
166	#108	—	8	2	no	—
167	#108	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
170	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
180	#97	—	4	2	no	—
181	C₄×C₈	—	4	2	no	—
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
185	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	#107	1	2	yes	—
188	C₂×D₄	#107	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	M₁₆	—	2	4	no	—
209	M₁₆	—	4	2	no	—
210	M₁₆	—	4	2	no	—
211	M₁₆	—	4	2	no	—
212	M₁₆	—	4	2	no	—
213	M₁₆	—	4	2	no	—
214	M₁₆	—	4	2	no	—
215	M₁₆	—	4	2	no	—
216	M₁₆	—	8	4	no	—
217	M₁₆	—	8	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	8	4	no	—
241	C₂×C₈	—	8	4	no	—
242	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
252	C₄⋊C₄	#107	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	#107	1	2	yes	—
254	C₂²⋊C₄	#107	1	2	yes	—
255	C₂²⋊C₄	#107	1	2	yes	—
256	C₂²⋊C₄	#107	1	2	yes	—
257	C₂²⋊C₄	#107	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
260	C₁₆	—	2	2	no	—
261	C₁₆	—	2	2	no	—
262	C₁₆	—	2	2	no	—
263	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	4	1	no	—
270	C₂³	—	4	1	no	—
271	C₂³	—	4	1	no	—
272	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
276	D₄	—	2	4	no	—
277	D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#107	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
307	C₈	—	2	1	no	—
308	C₈	—	2	1	no	—
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	—	8	2	no	—
313	C₈	—	8	2	no	—
314	C₈	—	8	2	no	—
315	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
317	C₈	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	1	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	8	1	no	—
332	C₂²	—	8	1	no	—
333	C₂²	#2161	1	2	yes	complemented
334	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3338	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	1	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
344	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#3334	1	1	yes	characteristic
346	C₂	—	2	1	no	—
347	C₂	—	2	1	no	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	4	1	no	—
350	C₂	—	4	2	no	—
351	C₂	D₄×#107	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#2161	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#33414	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#107
prime radical	C₂²×D₄	Q₁₆
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2161	C₂	semidirect
3. C₂²×#368	C₂	semidirect
5. #13179	C₂	semidirect
6. #12922	C₂	semidirect
7. #12922	C₂	semidirect
8. #12910	C₂	semidirect
9. #12838	C₂	semidirect
10. #12837	C₂	semidirect
11. #12676	C₂	semidirect
92. #368	D₄	semidirect
333. C₂²	#2161	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2168	2
C₂×#2161	2
C₂²×#368	2
D₄×#108	2
#13179	2
#12922	2
#12910	2
#12838	2
#12837	2
#12676	2