Subgroups — #497864

Order 512.

660 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13174	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12956	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12955	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12666	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#509	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2906	—	2	1	no	—
18	D₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
19	AGL(1,ℤ/16)	—	2	8	no	—
20	#2177	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2175	C₄	1	2	yes	complemented
22	C₄×SD₃₂	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₄×D₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2159	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	—
27	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
30	#2140	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2139	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1946	C₂²	1	2	yes	—
35	#1943	C₂²	1	2	yes	—
36	#1866	—	2	2	no	—
37	#1864	—	2	2	no	—
38	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1806	—	2	1	no	—
41	#1802	—	2	1	no	—
42	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1387	C₂²	1	2	yes	—
44	#1386	C₂²	1	2	yes	—
45	#1375	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₄×#41	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
53	#509	D₄	1	4	yes	—
54	#509	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#444	—	2	4	no	—
61	#444	—	4	2	no	—
62	#442	—	2	4	no	—
63	#442	—	4	2	no	—
64	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
65	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
66	C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
67	C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
68	C₄×D₈	—	2	1	no	—
69	C₄×D₈	—	2	1	no	—
70	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
73	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₂×#108	—	2	1	no	—
75	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
76	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#106	—	2	1	no	—
79	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
80	#424	—	2	2	no	—
81	#424	—	4	2	no	—
82	#423	—	2	1	no	—
83	#423	—	4	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#104	—	2	2	no	—
87	#416	—	2	1	no	—
88	C₂×#102	—	2	1	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#389	—	2	2	no	—
93	#385	—	4	2	no	—
94	#384	—	2	1	no	—
95	#380	—	4	1	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
97	#367	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
98	#366	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
99	#365	—	2	4	no	—
100	#365	—	4	2	no	—
101	C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
102	C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
103	#361	—	2	4	no	—
104	#360	—	2	4	no	—
105	#358	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
106	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#357	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
109	#347	—	2	4	no	—
110	#346	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
111	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
112	#340	—	2	2	no	—
113	#339	—	2	2	no	—
114	#336	D₄	1	2	yes	—
115	C₂×#41	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
119	#135	—	2	1	no	—
120	#135	—	2	1	no	—
121	#135	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	#135	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×D₈	—	2	1	no	—
126	C₂×D₈	—	2	1	no	—
127	C₂×D₈	—	2	1	no	—
128	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×D₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	#131	—	4	4	no	—
133	#131	—	8	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	1	no	—
145	C₄×D₄	—	2	1	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	1	no	—
148	C₄×D₄	—	4	1	no	—
149	C₄×D₄	—	4	1	no	—
150	C₄×D₄	—	4	1	no	—
151	C₄×D₄	—	8	2	no	—
152	#117	—	2	1	no	—
153	#117	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	SD₃₂	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
167	D₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
168	M₃₂	—	2	1	no	—
169	M₃₂	—	2	1	no	—
170	M₃₂	—	2	2	no	—
171	M₃₂	—	2	2	no	—
172	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	M₃₂	C₂×Q₈	1	2	yes	—
174	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
175	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	#108	—	2	2	no	—
178	#108	—	2	2	no	—
179	#108	—	8	1	no	—
180	#107	—	2	1	no	—
181	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	#106	—	2	1	no	—
185	#106	—	2	2	no	—
186	#106	—	2	2	no	—
187	#106	—	8	1	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
194	#104	—	4	4	no	—
195	#103	—	2	1	no	—
196	#103	—	2	1	no	—
197	#102	—	2	2	no	—
198	#102	—	2	2	no	—
199	#102	—	2	1	no	—
200	#102	—	2	1	no	—
201	#102	—	4	4	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
208	#95	—	2	1	no	—
209	#95	—	4	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	1	no	—
211	#41	—	2	2	no	—
212	#41	—	2	2	no	—
213	#41	—	4	1	no	—
214	#41	—	4	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	1	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	1	no	—
221	C₂×D₄	—	4	1	no	—
222	C₂×D₄	—	4	1	no	—
223	C₂×D₄	—	4	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
237	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	Q₁₆	—	2	1	no	—
241	Q₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	complemented
242	SD₁₆	—	2	2	no	—
243	SD₁₆	—	2	2	no	—
244	D₈	—	2	2	no	—
245	D₈	—	2	1	no	—
246	D₈	—	2	2	no	—
247	D₈	—	2	2	no	—
248	D₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
249	D₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	complemented
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	8	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	8	4	no	—
260	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	16	1	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	4	1	no	—
289	C₄²	—	4	1	no	—
290	C₄²	—	4	1	no	—
291	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
295	C₁₆	—	2	2	no	—
296	C₁₆	—	4	2	no	—
297	C₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	complemented
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	1	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	—	8	1	no	—
304	C₂³	—	8	1	no	—
305	C₂³	—	8	1	no	—
306	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	2	2	no	—
308	Q₈	—	4	1	no	—
309	D₄	—	2	4	no	—
310	D₄	—	2	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	1	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	1	no	—
330	C₂×C₄	—	8	1	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	16	1	no	—
337	C₂×C₄	—	16	8	no	—
338	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	2	1	no	—
349	C₈	—	2	1	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	8	2	no	—
352	C₈	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
354	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
355	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	1	no	—
366	C₂²	—	8	1	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3384	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	8	2	no	—
376	C₄	—	8	1	no	—
377	C₄	—	8	2	no	—
378	C₄	—	8	1	no	—
379	C₄	—	16	2	no	—
380	C₄	AGL(1,ℤ/16)	1	2	yes	complemented
381	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2952	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#3384	1	1	yes	characteristic
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	8	2	no	—
388	C₂	—	8	4	no	—
389	C₂	#22670	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×AGL(1,ℤ/16)	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#33469	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#442
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#509	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1770 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #22686	C₂	semidirect
4. #22670	C₂	semidirect
5. #13174	C₂	semidirect
6. #12956	C₂	semidirect
7. #12955	C₂	semidirect
8. #12903	C₂	semidirect
9. #12818	C₂	semidirect
10. #12816	C₂	semidirect
11. #12666	C₂	semidirect
20. #2177	C₄	semidirect
21. #2175	C₄	semidirect
22. C₄×SD₃₂	C₄	semidirect
23. C₄×D₁₆	C₄	semidirect
64. C₄×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
65. C₄×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
72. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect
73. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect
97. #367	C₂×C₄	semidirect
98. #366	C₂×C₄	semidirect
105. #358	C₂×C₄	semidirect
108. #357	C₂×C₄	semidirect
110. #346	C₂×C₄	semidirect
111. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
166. SD₃₂	C₄⋊C₄	semidirect
167. D₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
241. Q₁₆	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
249. D₈	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
297. C₁₆	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
380. C₄	AGL(1,ℤ/16)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×AGL(1,ℤ/16)	2
C₄×#509	2
#22686	2
#22670	2
#13174	2
#12956	2
#12955	2
#12903	2
#12818	2
#12816	2
#12666	2