Subgroups — #497898

Order 512.

660 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20485	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#12913	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12784	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
17	#2293	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#2169	—	2	4	no	—
19	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
20	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1767	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#1753	C₄	1	2	yes	—
34	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	#1750	C₄	1	2	yes	—
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1374	C₂²	1	2	yes	—
39	#1374	C₂²	1	2	yes	—
40	#1374	C₂²	1	2	yes	—
41	#1374	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
48	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
49	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
50	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#436	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
61	C₈×D₄	Q₈	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#405	—	4	2	no	—
67	#405	—	4	2	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
78	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
79	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
80	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
81	#388	C₈	1	2	yes	—
82	#388	C₈	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
91	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
92	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
94	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
96	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₄×D₄	M₁₆	1	4	yes	—
118	#117	—	4	2	no	—
119	#117	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	M₃₂	—	4	8	no	—
139	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
156	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
162	#97	—	4	2	no	—
163	#97	—	4	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	4	1	no	—
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
175	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
176	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
177	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
198	M₁₆	—	4	8	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	1	no	—
238	C₄²	—	2	1	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	4	1	no	—
244	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
246	C₁₆	—	2	2	no	—
247	C₁₆	—	2	2	no	—
248	C₁₆	—	4	1	no	—
249	C₁₆	—	4	1	no	—
250	C₁₆	—	4	2	no	—
251	C₁₆	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
260	D₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
298	C₈	—	2	4	no	—
299	C₈	—	2	2	no	—
300	C₈	—	2	2	no	—
301	C₈	—	4	1	no	—
302	C₈	—	4	2	no	—
303	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
304	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
305	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
306	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	4	1	no	—
325	C₄	—	4	1	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	—	4	1	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	#2151	1	4	yes	—
330	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#2970	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
334	C₂	—	4	4	no	—
335	C₂	#22696	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#2151	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#33398	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#33480	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#33483	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#33493	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#33495	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #13159	C₂	semidirect
5. #13159	C₂	semidirect
6. #12913	C₂	semidirect
7. #12912	C₂	semidirect
8. #12879	C₂	semidirect
9. #12784	C₂	semidirect
10. C₄×C₄⋊C₁₆	C₂	semidirect
11. #12545	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2169	2
C₂×D₄×C₁₆	2
#20485	2
#13159	2
#12913	2
#12912	2
#12879	2
#12784	2
C₄×C₄⋊C₁₆	2
#12545	2